¿Debería leer ‘Elementos de topología algebraica’ de Munkres o ‘Topología algebraica’ de Hatcher?

Answer 1

Es muy raro que la forma “correcta” de aprender un nuevo tema matemático sea simplemente leer un libro.

Si quieres aprender topología algebraica, sumérgete en el tema. Encuentre 2 o 3 fuentes y luche a través de ellas, sin un profesor que lo guíe, definitivamente será una lucha a menos que su experiencia sea excelente. Haga todos los ejercicios que pueda, hasta que pueda convencerse rápidamente de que es capaz de hacer los otros ejercicios. Cuando el tratamiento en una fuente no tiene sentido para usted, búsquelo en otra fuente.

El libro de Hatcher es probablemente mejor si no tienes experiencia previa con topología algebraica. Los dos primeros capítulos de ese libro pueden considerarse material de pregrado de nivel superior. Todo el libro es un curso completo de posgrado de 1 semestre sobre el tema, con el entendimiento de que un curso real se saltará gran parte del material. Este texto es el texto estándar para muchos cursos de topología algebraica, tanto a nivel de pregrado como de posgrado.

No estoy particularmente familiarizado con el libro de Munkres, pero parece que sería difícil a menos que esté familiarizado con el material del Capítulo 1 de Hatcher, al menos. Salta directamente a la teoría de la homología, que parece difícil sin tener alguna idea de qué es la topología algebraica. Es posible que el libro de Munkres haya sido escrito para estudiantes que ya están familiarizados con el otro libro de Munkres “Topología“, que (además de la topología de conjunto de puntos) cubre gran parte del material del primer capítulo de Hatcher.

Answer 2

Podría comenzar con la cobertura de la topología algebraica cerca del final de la Topología básica de Armstrong. La topología algebraica de Spanier también será sustancialmente más comprensible que Hatcher, aunque utiliza maquinaria algo anticuada. Hatcher es el tipo de libro que se ve bien para alguien que ya conoce el material, pero que resulta casi inutilizable para un principiante. Las partes grandes solo son comprensibles si ya las comprende y solo está volviendo a consultar para obtener una referencia; Nunca he conocido a nadie que haya aprendido realmente la topología algebraica con solo leerla sin ayuda externa muy importante. Incluso mis amigos que se especializan en su doctorado especializado en topología algebraica se quejan.

También será útil aprender sobre homología y cohomología en su contexto original, por lo que es posible que desee probar alguna fuente que explique la cohomología de De Rham; Escuché que Smooth Manifolds de John Lee es bueno, y Algebraic Curves and Riemann Surfaces de Rick Miranda hace un buen trabajo al mostrar para qué sirven estas cosas si no te importa aprender algunas matemáticas adicionales. La cobertura de la cohomología en Hatcher está claramente escrita para alguien que ya sabe qué es la cohomología; en el libro, se presenta como una construcción algebraica sin explicación de por qué alguien querría hacer esto o esperar que dé resultados significativos.

Answer 3

Sugeriría ambos, junto con el libro de Dover que cubre este tema, ya que cada libro tiene sus puntos fuertes. Dover y Hatcher probablemente tengan una pieza introductoria más suave que Munkres, si aún no está familiarizado con la topología algebraica.