¿Alguien puede proporcionar una solución analítica para [matemáticas] \ frac {dr} {dt} = 1 + \ frac {1} {r} + \ frac {1} {r ^ 3} [/ matemáticas] con [matemáticas] r ( 0) = r_0 [/ matemáticas]?

Answer 1

Reescribiendo la ecuación diferencial dada, tenemos:

[matemáticas] \ frac {r ^ 3 \, dr} {r ^ 3 + r ^ 2 + 1} = dt [/ matemáticas]

Entonces integraríamos ambos lados para obtener nuestra función deseada; para hacerlo, sin embargo, debemos utilizar la descomposición de fracción parcial. Podemos mostrar fácilmente que la función anterior tiene tres raíces distintas, dos de las cuales son conjugados complejos. Denominemos estos [math] \ beta, \ alpha, \ bar {\ alpha} [/ math].

También necesitamos reducir el denominador de nuestra función racional a través de la división larga, por lo que escribimos:

[matemáticas] \ frac {r ^ 3} {r ^ 3 + r ^ 2 + 1} = 1- \ frac {1 + r ^ 2} {r ^ 3 + r ^ 2 + 1} [/ matemáticas]
[matemáticas] = 1- \ frac {1 + r ^ 2} {(x- \ beta) (x- \ alpha) (x – (\ bar {\ alpha}))} [/ matemáticas]

Luego podemos realizar algo de álgebra lineal para descomponer la función racional restante en dos fracciones separadas, después de lo cual podemos realizar la integral a través de técnicas estándar para obtener:

[matemáticas] r (t) = \ sum _ {\ omega \ in \ {\ beta, \ alpha, \ bar {\ alpha} \}} \ frac {\ log (- \ omega + r) + \ omega ^ 2 \ log (- \ omega + r)} {3 \ omega ^ 2 + 2 \ omega} [/ math]

más una constante dependiendo de [math] r_0 [/ math] (Quora no me deja escribir nada más en la línea anterior sin fallar en compilar LaTeX).

Como referencia, tenemos:

[matemáticas] \ beta = \ frac {1} {3} \ Big (- \ sqrt [3] {\ frac {2} {29-3 \ sqrt {93}}} [/ matemáticas]
[matemáticas] – \ sqrt [3] {\ frac {1} {2} \ left (29-3 \ sqrt {93} \ right)} – ​​1 \ Big) [/ math]

y

[matemáticas] \ alpha = \ frac {1} {6} \ left (1 + i \ sqrt {3} \ right) \ sqrt [3] {\ frac {1} {2} \ left (29-3 \ sqrt {93} \ right)} [/ math]
[matemáticas] – \ frac {1} {3} + \ frac {1-i \ sqrt {3}} {3 \ 2 ^ {2/3} \ sqrt [3] {29-3 \ sqrt {93}} }[/matemáticas]

Answer 2

La solución implícita es “fácil”, solo separe las variables a [math] \ frac {r ^ 3dr} {r ^ 3 + r ^ 2 + 1} = dt [/ math] e integre ambos lados. Para obtener lo que WA tiene en su respuesta dr / dt = 1 + 1 / r + 1 / r ^ 3 – Wolfram | Alpha solo use la integración integral x ^ 3 / (x ^ 3 + x ^ 2 + 1) – Wolfram | Alfa y agregue una constante para tener en cuenta la condición inicial.