¿Cómo se evalúa [math] – \ int_ {0} ^ {1} \ frac {\ log (1-x)} {x} \, dx [/ math]?

Answer 1

Empecemos con
[matemáticas] \ frac {1} {1-x} = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + x ^ 4 + \ puntos [/ matemáticas]

Esto se integra a
[matemáticas] – \ log {\ left (1-x \ right)} = x + \ frac {x ^ 2} {2} + \ frac {x ^ 3} {3} + \ frac {x ^ 4} { 4} + \ puntos [/ matemáticas]
La constante de integración es cero.

Dividiendo por [matemáticas] x [/ matemáticas]
[matemáticas] – \ frac {\ log {\ left (1-x \ right)}} {x} = 1 + \ frac {x} {2} + \ frac {x ^ 2} {3} + \ frac { x ^ 3} {4} + \ puntos [/ matemáticas]

Integrando
[matemáticas] – \ int ^ 1_0 \ frac {\ log {\ left (1-x \ right)}} {x} dx = \ left. x + \ frac {x ^ 2} {2 ^ 2} + \ frac {x ^ 3} {3 ^ 3} + \ frac {x ^ 4} {4 ^ 2} + \ puntos \ right | ^ 1_0 [/ matemáticas]

Por lo tanto
[matemáticas] – \ int ^ 1_0 \ frac {\ log {\ left (1-x \ right)}} {x} dx = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ 2} [/ matemáticas]

Según la película Good Will Hunting, o de la serie Fourier
[matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ 2} = \ frac {\ pi ^ 2} {6} [/ matemáticas]

Answer 2

Descargo de responsabilidad: no tomo ningún crédito por este análisis.

Utilizamos el siguiente lema: Sea [matemática] Z [/ matemática] una curva compleja en [matemática] \ matemática {C} ^ 2 [/ matemática]. Deje que [math] R (Z) \ subset \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] sea la proyección de [math] Z [/ math] en sus partes reales y [math] I (Z) [/ math] La proyección sobre sus partes complejas. Si estas proyecciones son de uno a uno, entonces el área de [matemáticas] R (Z) [/ matemáticas] es igual al área de [matemáticas] I (Z) [/ matemáticas].

Considere la curva compleja [matemática] e ^ {- z_1} + e ^ {- z_2} = 1 [/ matemática] donde [matemática] z_1 [/ matemática] y [matemática] z_2 [/ matemática] obedecen las desigualdades

[matemáticas] x_1 \ geq 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] x_2 \ geq 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] – \ pi \ leq y_1 \ leq 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] 0 \ leq y_2 \ leq \ pi [/ matemáticas]

Dado un punto en [matemáticas] e ^ {- z_1} + e ^ {- z_2} = 1 [/ matemáticas], considere el triángulo con vértices en [matemáticas] 0 [/ matemáticas], [matemáticas] e ^ {- z_1 } [/ math] y [math] e ^ {- z_1} + e ^ {- z_2} = 1 [/ math]. Las desigualdades [matemáticas] y [/ matemáticas] establecen que el triángulo debe estar por encima del eje real; las desigualdades [matemáticas] x [/ matemáticas] establecen que la base horizontal debería ser el lado más largo.

Proyectando en las coordenadas [matemáticas] x [/ matemáticas], vemos que el triángulo existe si y solo si la desigualdad del triángulo [matemáticas] e ^ {- x_1} + e ^ {- x_2} \ geq 1 [/ matemáticas] es obedecido Entonces [math] R (Z) [/ math] es la región bajo la curva [math] x_2 = – \ log (1 − e ^ {- x_1}) [/ math]. El área bajo esta curva es

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ {\ infty} – \ log (1 − e ^ {- x}) \, dx = \ int_0 ^ {\ infty} \ sum \ frac {e ^ {- kx}} {k } \, dx = \ sum \ frac {1} {k ^ 2} [/ math]

Una simple sustitución de [math] e ^ {- x} = z [/ math] nos permite expresar la integral más a la izquierda en la forma

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ {\ infty} – \ log (1 − e ^ {- x}) \, dx = \ int_1 ^ 0 \ frac {\ log (1-x)} {x} \, dx [/matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica – \ int_0 ^ 1 \ frac {\ log (1-x)} {x} \, dx = \ sum \ frac {1} {k ^ 2} [/ math]

Ahora, proyecte en las coordenadas [matemáticas] y [/ matemáticas]. Establezca [math] (y_1, y_2) = (- \ theta_1, \ theta_2) [/ math] por conveniencia, por lo que los ángulos del triángulo son [math] \ theta_1, \ theta_2, \ pi- \ theta_1- \ theta_2 [ /matemáticas]. El ángulo más grande de un triángulo es opuesto al lado más grande, por lo que queremos [matemáticas] \ theta_1, \ theta_2 \ leq \ pi- \ theta_1- \ theta_2 [/ matemáticas], más las desigualdades obvias [matemáticas] \ theta_1, \ theta_2 \ geq 0 [/ matemáticas]. Entonces [matemática] I (Z) [/ matemática] es el cuadrilátero con vértices en [matemática] (0,0) [/ matemática], [matemática] (0, \ pi / 2) [/ matemática], [matemática] (\ pi / 3, \ pi / 3) [/ math] y [math] (\ pi / 2,0) [/ math] y, por geometría elemental, tiene área [math] \ pi ^ 2/6 [ /matemáticas]

Por la igualdad de estas 2 áreas, como predice el lema, tenemos

[matemáticas] \ displaystyle – \ int_0 ^ 1 \ frac {\ log (1-x)} {x} \, dx = \ frac {\ pi ^ 2} {6} [/ matemáticas]

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Answer 3

Vea esto: ¿Cómo calcula la integral [matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ 1 \ frac {\ ln (1-x)} {x} \ mathrm {d} x [/ math]?