Si las raíces complejas de una ecuación cuadrática no interceptan el eje x, ¿por qué todavía se llaman raíces?

Answer 1

Su confusión radica en confundir el eje [matemático] x [/ matemático] del plano en el que se dibuja una curva de función con el eje horizontal del plano complejo.

Si [math] f [/ math] es una función que toma números reales como entradas y devuelve números reales como salidas, entonces tiene sentido visualmente dibujar los puntos [math] (x, f (x)) [/ math] en el plano bidimensional de números reales [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math]. En el caso de una función cuadrática, esos puntos forman una bonita curva parabólica. ¿Cuáles son los ejes de [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math]? Bueno, una de ellas es la copia de “dominio” de [math] \ mathbb {R} [/ math], y la otra es la copia de “rango”.

Sin embargo, si pensamos en [math] f [/ math] como una función que toma entradas complejas y devuelve salidas complejas, entonces ya no tiene sentido dibujar una curva en [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math ] – ahora necesitamos [math] \ mathbb {C} ^ 2 [/ math], que es realmente difícil de dibujar (ya que [math] \ mathbb {C} ^ 2 [/ math] se parece a [math] \ mathbb { R} ^ 4 [/ matemáticas]).

Pero si cierra los ojos e intenta pensar de manera abstracta, es posible que pueda pensar en una copia de [math] \ mathbb {C} [/ math] como el dominio “eje”, y la otra como el rango ” axis “, entendiendo que” axis “ahora significa un plano completo en lugar de una línea. Si tienes éxito en este poco de gimnasia mental, la recompensa es que una vez más una raíz del polinomio es donde la gráfica cruza el eje del dominio.

Answer 2

‘Raíces’ son solo términos para los valores de [matemática] x [/ matemática] para los cuales [matemática] f (x) = 0 [/ matemática]
El concepto de representación en el plano cartesiano es solo una forma de explicación.