Suponga que G tiene un subgrupo de orden n. ¿Cómo puedo demostrar que la intersección de todos los subgrupos de orden n es un subgrupo normal de G?

Answer 1

La intersección de muchos subgrupos finitos de un grupo es nuevamente un subgrupo del grupo. Como [math] G [/ math] tiene al menos un subgrupo de orden [math] n [/ math], la intersección de todos los subgrupos de orden [math] n [/ math] no está vacía, y de acuerdo con lo anterior declaración, es sin duda un subgrupo de [matemáticas] G [/ matemáticas].

Ahora, hacemos las siguientes observaciones. Considere cualquier subgrupo [matemático] H [/ matemático] de orden [matemático] n [/ matemático], y cualquier elemento [matemático] x [/ matemático] de [matemático] G [/ matemático]. Recuerde que la conjugación de un elemento [matemática] g [/ matemática] por [matemática] x [/ matemática] es [matemática] xgx ^ {- 1} [/ matemática]. Como la conjugación de un elemento es un automorfismo, [math] xHx ^ {- 1} [/ math] también es un subgrupo de orden [math] n [/ math]. Nuevamente, como la conjugación es un automorfismo, [matemáticas] xHx ^ {- 1} \ ne xKx ^ {- 1} [/ matemáticas] para cualquier subgrupo [matemáticas] K \ ne H [/ matemáticas]. Por lo tanto, la conjugación por [math] x [/ math] es una permutación del conjunto de todos los subgrupos de orden [math] n [/ math].

Sea [math] h [/ math] un elemento en la intersección de todos los subgrupos de orden [math] n [/ math]. Tenga en cuenta que para cada subgrupo [matemática] H [/ matemática] que contiene [matemática] h [/ matemática], [matemática] xhx ^ {- 1} \ en xHx ^ {- 1} [/ matemática]. Combinando esto con la observación anterior, vemos que [math] xhx ^ {- 1} [/ math] está en cada subgrupo de orden [math] n [/ math], y por lo tanto, en la intersección de todos estos subgrupos. Por lo tanto, esta intersección es un subgrupo normal de [matemáticas] G [/ matemáticas].

Answer 2

Primero tenemos que mostrar que las intersecciones de todos los subgrupos (H) de un grupo G también son un subgrupo de G … es decir, tenemos que mostrar las siguientes 4 propiedades 1.Asociatividad
2 cierre
3 inverso
4. identidad
Una vez que hayamos demostrado que es un subgrupo, es hora de demostrar que es un subgrupo normal, es decir, tenemos que demostrar que x * h * x ^ (- 1) € H para todo h € H