¿Cómo se evalúa la integral [math] \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- ax} \ log x ~ \ mathrm {d} x [/ math]?

Answer 1

Abordemos esta integral utilizando el camino de Feynman. Introducir

[matemáticas] I (b) = \ int_0 ^ \ infty x ^ be ^ {- ax} \, dx \, \ ,, \, \, \, \ mbox {para} \, a> 0 \, \ ,, \, \, b \ ge0 [/ math]

así que eso

[matemáticas] I ‘(0) = \ frac {\ partial I} {\ partial b} \ bigg | _ {b = 0} = \ int_0 ^ \ infty e ^ {- ax} \ ln x \, dx [/ matemáticas]

Recuerde dos funciones especiales, a saber, la función gamma y la función digamma. La función gamma se define como

[matemáticas] \ Gamma (n) = \ int_0 ^ \ infty t ^ {n-1} e ^ {- t} \, dt [/ math]

donde [math] \ Gamma (n) = (n-1)! [/ math] if [math] n [/ math] es un entero positivo. La función digamma se define como

[matemáticas] \ psi (x) = \ frac {d} {dx} \ ln \, \ Gamma (x) = \ frac {\ Gamma ‘(x)} {\ Gamma (x)} [/ math]

Ahora, volviendo a [matemáticas] I (b) [/ matemáticas] y evalúelo usando la sustitución [matemáticas] t = ax [/ matemáticas], tenemos

[matemáticas] I (b) = \ frac {1} {a ^ {b + 1}} \ int_0 ^ \ infty t ^ be ^ {- t} \, dt = \ frac {\ Gamma (b + 1)} {a ^ {b + 1}} [/ matemáticas]

y

[matemáticas] I ‘(b) = – \ frac {\ Gamma (b + 1)} {a ^ {b + 1}} \ bigg [\ ln a- \ psi (b + 1) \ bigg] [/ math ]

Poniendo [math] b = 0 [/ math] y usando [math] \ psi (1) = – \ gamma [/ math], donde [math] \ gamma [/ math] es la constante de Euler-Mascheroni (también llamada Euler constante), finalmente obtenemos

[matemáticas] \ int_0 ^ \ infty e ^ {- ax} \ ln x \, dx = – \ frac {\ ln a + \ gamma} {a} [/ matemáticas]

que coincide con las afirmaciones de otros usuarios.

Answer 2

Otra forma de lidiar con los registros es usar expansiones. Específicamente, tratamos con [math] \ int_0 ^ \ infty e ^ {- ax} x ^ {\ epsilon} dx [/ math]. La motivación detrás de esto es que la integral es igual a [matemáticas] \ int_0 ^ \ infty e ^ {- ax} e ^ {\ epsilon \ ln (x)} dx = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ frac {\ epsilon ^ k} {k!} \ int_0 ^ \ infty e ^ {- ax} \ ln ^ k (x) dx [/ math]. Por lo tanto, si logramos encontrar el valor de la integral como una serie de potencia en epsilon, solo necesitamos encontrar el coeficiente de [math] \ epsilon [/ math] y habremos terminado.

Para encontrar esto, primero hacemos una sustitución en U:
[matemáticas] \ int_0 ^ \ infty e ^ {- ax} x ^ {\ epsilon} dx = \ frac {1} {a ^ {\ epsilon + 1}} \ int_0 ^ \ infty e ^ {- u} u ^ {\ epsilon} du [/ math]

Esto se puede evaluar mediante la función gamma como:
[matemáticas] \ frac {1} {a ^ {\ epsilon + 1}} \ Gamma (1+ \ epsilon) [/ matemáticas]

Sin embargo, una expansión de la función gamma es: [matemática] \ ln (\ Gamma (1 + z)) = – \ gamma \ epsilon + \ sum_ {k = 2} ^ \ infty \ frac {\ zeta (k)} {k} (- \ epsilon) ^ k [/ math], para que podamos ampliar nuestro resultado como

[matemáticas] \ frac {1} {a} e ^ {- \ epsilon \ ln (a)} e ^ {\ ln (\ Gamma (1+ \ epsilon))} [/ matemáticas] [matemáticas] = \ frac { 1} {a} (1 – \ epsilon \ ln (a) + o (\ epsilon ^ 2)) (1 + (- \ gamma \ epsilon) + o (\ epsilon ^ 2)) [/ math]

El coeficiente de [math] \ epsilon [/ math] se ve entonces como [math] – \ frac {\ gamma + \ ln (a)} {a} [/ math]

Answer 3

Claramente, a> 0 debe ser verdadero o el resultado no puede ser finito, por lo que solo necesitamos considerar casos cuando a> 0.

[matemáticas] I = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- ax} \ log x \ dx [/ matemáticas]
[matemáticas] I = \ frac 1 a \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- u} (\ log u- \ log a) \ du [/ math]

[matemáticas] I = \ frac 1 a \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- u} \ log u \ du – \ frac {\ log a} a \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- u} \ du [/ matemáticas]

[matemáticas] I = \ frac 1 a \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- u} \ log u \ du – \ frac {\ log a} a [/ math]

La integral restante es igual al negativo de la constante de Euler-Mascheroni, [matemáticas] \ gamma \ aproximadamente 0.57721 [/ matemáticas].

(Aquí se proporciona una prueba completa del resultado que desea: la transformada de logaritmo de Laplace).

Entonces el resultado es:

[matemáticas] \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- ax} \ log x dx = – \ frac {\ gamma + \ log a} a [/ math]

Answer 4

usar integración por partes.