Suponiendo que desea encontrar todas las soluciones de números naturales y demostrar que no existe otra solución:
Dado que todos los términos en el lado izquierdo son positivos, podemos aplicar la desigualdad de los medios aritméticos y geométricos para obtener
[matemáticas] \ frac {x} {y} + \ frac {y} {z + 1} + \ frac {z} {x} \ geq [/ matemáticas] [matemáticas] 3 \ sqrt [3] {\ frac { x} {y} \ frac {y} {z + 1} \ frac {z} {x}} [/ math] [math] = 3 \ sqrt [3] {\ frac {z} {z + 1}} [/matemáticas]
Si [math] a> b [/ math] son enteros positivos, entonces tenemos
[matemáticas] 3 \ sqrt [3] {\ frac {a} {a + 1}}> 3 \ sqrt [3] {\ frac {b} {b + 1}} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ iff \ frac {a} {a + 1}> \ frac {b} {b + 1} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ iff a (b + 1)> b (a + 1) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ iff a> b [/ matemáticas]
Como [math] 3 \ sqrt [3] {\ frac {2} {2 + 1}}> \ frac {5} {2} [/ math] para cualquier [math] z> 1 [/ math] tenemos [ matemáticas] \ frac {x} {y} + \ frac {y} {z + 1} + \ frac {z} {x} \ geq [/ matemáticas] [matemáticas] 3 \ sqrt [3] {\ frac {z } {z + 1}} [/ matemáticas] [matemáticas]> 5/2 [/ matemáticas]
entonces el único valor natural posible para [math] z [/ math] es [math] 1 [/ math]
- ¿Qué conceptos del álgebra son más útiles en estadísticas avanzadas?
- ¿Cuál desarrolló primero, álgebra o geometría?
- Suponga que la función [math] f (x) [/ math] es monotónica y acotada en [math] (- \ infty, \ infty) [/ math] y [math] \ {x_n \} [/ math] es un secuencia. Es la proposición ‘Si [math] \ {x_n \} [/ math] es convergente, entonces [math] \ {f (x_n) \} [/ math] es convergente’. ¿verdadero o falso? ¿Por qué?
- Si las raíces complejas de una ecuación cuadrática no interceptan el eje x, ¿por qué todavía se llaman raíces?
- ¿Cómo se evalúa [math] – \ int_ {0} ^ {1} \ frac {\ log (1-x)} {x} \, dx [/ math]?
Cuando [math] z [/ math] es igual a [math] 1 [/ math] la ecuación dada se convierte en [math] \ frac {5} {2} = \ frac {x} {y} + \ frac {y} {2} + \ frac {1} {x}> \ frac {y} {2} [/ math] de donde se deduce que [math] y \ leq 4 [/ math]
Si [math] y = 4 [/ math] entonces [math] \ frac {x} {4} + \ frac {1} {x} = \ frac {1} {2} [/ math] que no tiene un solución natural
Si [matemática] y = 3 [/ matemática] entonces [matemática] \ frac {x} {3} + \ frac {1} {x} = 1 [/ matemática] que no tiene una solución natural.
Si [matemática] y = 2 [/ matemática] entonces [matemática] \ frac {x} {2} + \ frac {1} {x} = \ frac {3} {2} [/ matemática] que nos da dos soluciones : [matemáticas] (x, y, z) = (1,2,1), (2,2,1) [/ matemáticas]
Si [matemática] y = 1 [/ matemática] entonces [matemática] x + \ frac {1} {x} = 2 [/ matemática] que nos da la solución [matemática] (x, y, z) = (1,1 , 1) [/ matemáticas]
Como hemos cubierto todos los casos posibles, no hay más soluciones en números naturales.