¡Falso!
Podemos tomar la función f como la función de paso Heaviside, que es 0 para x negativo y 1 para x no negativo. (Existen definiciones alternativas). Esto es monótono y acotado. Sin embargo, considere una secuencia como 1, -1/2, 1/3, -1/4, … que converge a cero. Las imágenes debajo de f son 1, 0, 1, 0,… ¡que no convergen!
Si necesita que la función aumente estrictamente, entonces podemos modificar fácilmente este ejemplo para satisfacer este criterio: simplemente tome la función de paso Heaviside más la función de tangente inversa. Esto todavía tiene un salto en el origen y se aplica el mismo argumento.
En general, si desea una función de valor real en los reales para preservar la convergencia, la función debe ser continua. De hecho, esta es una relación si y solo si: la función debe ser continua, de lo contrario siempre habrá una secuencia convergente con una imagen divergente.
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