Si [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática] y [matemática] c \ geq 0 [/ matemática], ¿cómo podemos mostrar que [matemática] (a ^ 5 – a ^ 2 + 3 ) (b ^ 5 – b ^ 2 + 3) [/ matemáticas] [matemáticas] (c ^ 5 – c ^ 2 + 3) \ geq (a + b + c) ^ 3 [/ matemáticas]?

Answer 1

Este es el problema 5 de la USAMO 2004.

La prueba se basa en el hecho de que [matemática] x ^ 5 – x ^ 2 + 3 \ ge x ^ 3 + 2 [/ matemática] para todos los no matemáticos [matemática] x [/ matemática]. Esto se debe a que [matemáticas] x ^ 2 – 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] x ^ 3 – 1 [/ matemáticas] tienen el mismo signo, entonces [matemáticas] 0 \ le (x ^ 3 – 1) (x ^ 2 – 1) = x ^ 5 – x ^ 3 – x ^ 2 + 1 [/ matemáticas].

Entonces, sustituyendo [matemáticas] x = a, x = b, x = c [/ matemáticas] y multiplicando los rendimientos

[matemáticas] \ prod _ {\ text {cyc}} (a ^ 5 – a ^ 2 + 3) \ ge \ prod _ {\ text {cyc}} (a ^ 3 + 2) [/ math]

entonces es suficiente demostrar que

[matemáticas] (a ^ 3 + 2) (b ^ 3 + 2) (c ^ 3 + 2) \ ge (a + b + c) ^ 3 [/ matemáticas].

Esto se debe a que [matemáticas] a ^ 3 + a ^ 3b ^ 3 + 1 \ ge 3a ^ 2b [/ matemáticas] y [matemáticas] a ^ 3b ^ 3c ^ 3 + a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + 2 \ ge 6abc [/ math], ambos por AM-GM.

Answer 2

Considere la función [matemáticas] f (x) = x ^ 5 – x ^ 2 + 3 – 3x [/ matemáticas].

Reclamación: [math] f (x) \ geq 0 [/ math] en [math] [0, \ infty) [/ math].
Prueba: la derivada viene dada por, [matemática] f ‘(x) = 5x ^ 4 – 2x – 3 [/ matemática]. Ahora,

Caso 1: [matemáticas] x \ en [1, \ infty) [/ matemáticas]
En este intervalo,
[matemáticas] 2x ^ 2 \ geq x + 1 [/ matemáticas], por lo tanto,
[matemáticas] 4x ^ 4 \ geq x ^ 2 + 2x + 1 \ geq 2x + 2 [/ matemáticas], por lo tanto,
[matemáticas] 5x ^ 4 \ geq 2x + 2 + x ^ 4 \ geq 2x + 3 [/ matemáticas]

Entonces, en este intervalo, la función no disminuye y [matemática] f (1) = 0 [/ matemática], lo que implica que [matemática] f (x) \ geq 0 [/ matemática] en este intervalo.

Caso 2: [matemáticas] x \ en [0, 1) [/ matemáticas]
En este intervalo, como en el caso 1, pero con la desigualdad invertida, podemos mostrar que la función está disminuyendo y nuevamente usando el hecho de que [matemática] f (1) = 0 [/ matemática], observamos que [matemática] f ( x) \ geq 0 [/ math] en este intervalo.

Por lo tanto, [math] f (x) \ geq 0 [/ math] en [math] [0, \ infty) [/ math].

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De la sección anterior, sabemos que [math] x ^ 5 – x ^ 2 + 3 – 3x \ geq 0 [/ math] para [math] x \ geq 0 [/ math]. Esto implica que [matemáticas] x ^ 5 – x ^ 2 + 3 \ geq 3x [/ matemáticas] (*).

LHS = [matemáticas] (a ^ 5 – a ^ 2 + 3) (b ^ 5 – b ^ 2 + 3) (c ^ 5 – c ^ 2 + 3) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ geq 3a \ veces 3b \ veces 3c [/ matemáticas]… [de (*)]
[matemáticas] \ geq 27abc [/ matemáticas]
——> Error a continuación, necesita una solución <——-
[matemática] \ geq (a + b + c) ^ 3 [/ matemática]… [de AM-GM]
= RHS