Cómo calcular la integral lineal [math] \ oint _ {\ gamma} (x + y + z) \, \ mathrm {d} s [/ math], donde [math] \ gamma [/ math] es el cuadrado cuyos vértices son [matemáticas] (1,0,0) [/ matemáticas], [matemáticas] (1,1,0) [/ matemáticas], [matemáticas] (1,1,1) [/ matemáticas] y [matemáticas] ( 1,0,1) [/ matemáticas] usando el teorema de Green

Answer 1

La técnica aquí es notar que el cuadrado se encuentra en el plano x = 1 incrustado en [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math]. Entonces, si vamos en sentido positivo, obtendremos [matemáticas] [(1 + 1 ^ 2/2) – (0 + 0 ^ 2/2)] [/ matemáticas] [matemáticas] + [(2 + 1 ^ 2/2) – (0 + 0 ^ 2/2)] [/ matemáticas] [matemáticas] – [(2 + 1 ^ 2/2) – (0 + 0 ^ 2/2)] [/ matemáticas ] [matemáticas] – [(1 + 1 ^ 2/2) – (0 + 0 ^ 2/2)] = 0 [/ matemáticas]. Sin embargo, una forma más rápida de usar el Teorema de Green, produce [math] \ int_ {A} \; (1-1) \; dA = 0 [/ matemática]. Hay una sutileza aquí en que podemos dejar que [math] ds = dy + dz [/ math] al notar que con un retroceso uno de estos componentes desaparece (en un segmento dado del contorno) y entonces obtenemos [math] ds = dy [/ math] o [math] ds = dz [/ math], que es lo que queríamos en primer lugar. Un matemático astuto también puede ver la respuesta por simetría sin recurrir a ningún cálculo adicional.

Answer 2

El teorema de Green solo es válido para funciones de 2 variables. Esto es 3 variables. Creo que necesitarías el teorema de Stokes

Teorema de Stokes