¿Hay un campo sobre los complejos? ¿Podemos construir series infinitas de campos donde cada campo contiene los anteriores?

Answer 1

• Sí , hay un campo que contiene [math] \ mathbb {C} [/ math]. Tome [math] \ mathbb {C} (x) [/ math], el campo de funciones racionales sobre los números complejos. Contiene [math] \ mathbb {C} [/ math] de una manera obvia. Está claro que este proceso también se puede aplicar a cualquier campo, no solo a [math] \ mathbb {C} [/ math]. Una fuente de confusión potencial es que no existe una extensión finita de [math] \ mathbb {C} [/ math]; dicha extensión sería algebraica, pero [math] \ mathbb {C} [/ math] está cerrada algebraicamente y, por lo tanto, no tiene extensiones algebraicas.
• Sí, existen infinitas torres de campos. Podría usar la construcción anterior, pero los campos finitos proporcionan un ejemplo más agradable, por ejemplo, [math] \ mathbb {F} _2 \ subset \ mathbb {F} _4 \ subset \ mathbb {F} _ {16} \ subset \ puntos [/ matemáticas]

Answer 2

No puede hacer una extensión de campo algebraico, ya que regresa a C. Una de las razones por las cuales – C está algebraicamente cerrado.

Quaternions, Octonions … y toda la construcción de Cayley-Dickson te dará álgebras sobre anillos de algún tipo, pero no campos. Y eso va al infinito.

Para una buena extensión de campo, vea la respuesta de Ryan.

Answer 3

Eso depende de lo que quieras decir con un campo que está por encima de otro.
Si quiere decir que un campo [math] (F, +, \ times) [/ math] está por encima de otro campo [math] (F ‘, +’, \ times ‘) [/ math], si cuando restringe el dominio de los operadores [math] +, \ times [/ math] al conjunto [math] F ‘[/ math], obtienes el campo [math] (F’, + ‘, \ times’) [/ math], entonces sí, puede construir una secuencia infinita de campos, cada uno por encima del anterior. Considere [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] donde por la definición anterior de estar por encima de [math] \ forall n \ mathbb {R} ^ n <\ mathbb {R} ^ {n + 1} [/ matemáticas].

Answer 4

ver la respuesta de Harun S.

los cuaterniones no forman un campo en el sentido de álgebra abstracta.

Si ese no es su significado, marque a continuación.

A la primera pregunta. Sí, mira los cuaterniones.

A la segunda. No veo por qué no. La pregunta es qué tan útil será. ¿A alguien más le importará esto?