Cómo encontrar el número de soluciones para [matemáticas] x + y + z = 30 [/ matemáticas] si todas son números enteros no negativos, tome valores distintos y exactamente una variable tenga un valor menor o igual que 3

Answer 1

Gracias por A2A Bikas Paswan. Este es mi enfoque para este problema, ya que nadie presentó este método.

En primer lugar, resuelva una pregunta simple: encuentre el número de soluciones integrales distintas no negativas para la siguiente ecuación: x + y = 10?

Si reformulamos la pregunta, podemos ver que es lo mismo que distribuir 10 caramelos dos a personas, x e y tal que nadie obtenga el mismo número de dulces.

Si organizamos 10 dulces en una fila como esta:

OOO | OOOOOOO
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tomemos un palo y colóquelo en una de las ubicaciones entre los dulces, como se muestra arriba. Entre 3 y 4 dulces. Esto divide el conjunto de dulces en dos partes, (3,7), 3 para xy 7 para y. También podemos colocar el palo antes del dulce número 1. Eso nos da cero para xy los 10 para y. Así que tenemos un total de 11 de esos lugares entre y más allá de los dulces, de los cuales se debe seleccionar una posición. Esta selección divide el número de dulces en dos partes.

Este número de selecciones se puede representar mediante combinaciones.

Como tenemos 11 lugares para colocar el palo, n = 11 y el número de palos para colocar es 1, es decir, k = 1 (en este caso. Podemos usar dos palos, dividiendo el número de dulces entre tres personas)
11 C 1 = 11 soluciones. Como se necesitan soluciones distintas, x = 5, y = 5 se pueden descartar, lo que nos da un total de 10 soluciones.

Ahora volviendo a la pregunta, dejemos que las tres variables sean x, y, z. Como z (una de las variables) puede tomar valores <= 3, es decir, z = 0,1,2,3.

Si z = 2 , la ecuación reconstruida es x + y = 28, el número de soluciones son, según la explicación anterior, 29 C 1 = 29 soluciones
[28 dulces, 29 espacios, 1 palo]
Las soluciones desechadas son: x no es igual a y; y x, y no es igual a z
Esos son x, y, z = (2,26,2), (26,2,2) y (13,13,2)

Construyamos la siguiente tabla:

valor z Nueva ecuación No. soluciones Soluciones descartadas Soluciones válidas
0 , cero x + y = 30 31C1 = 31 (x, y, z): (0,30,0), 28
(30,0,0), (15,15,0)

1 x + y = 29 30C1 = 30 (1,28,1), (28,1,1) 28

2 x + y = 28 29C1 = 29 (2,26,2), (26,2,2), 26 (14,14,2)

3 x + y = 27 28C1 = 28 (3,24,3), (24,3,3) 26

En resumen, tenemos un total de 28 + 28 + 26 + 26 = 108 posibles soluciones.

108 * 3 = 324 soluciones totales

Espero no haberme desviado de la línea del pensamiento lógico y de ahí la solución anterior. Por favor, siéntase libre de corregirme. Los errores son dignos, las soluciones no lo son.

Answer 2

Gracias por A2A, Suhas. Una cosa combinatoria que parece fácil a primera vista pero que se debe tener cuidado. Por lo tanto, haré la solución más estúpida posible.

Suponga primero que [matemáticas] x

1) [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas]. Entonces [matemáticas] y + z = 30 [/ matemáticas]. Entonces [matemáticas] y-4 + z-4 = 22 [/ matemáticas]. [matemática] y-4 [/ matemática] puede tomar valores entre [matemática] 0 [/ matemática] y [matemática] 10 [/ matemática] desde [matemática] 3

2) [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas]. Como en el caso anterior [matemáticas] y-4 + z-4 = 21. [/ Matemáticas]
[math] y-4 [/ math] puede tomar valores entre [math] 0 [/ math] y [math] 10 [/ math], y hay soluciones [math] 11 [/ math] nuevamente.

3) [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas]. Entonces [matemáticas] y-4 + z-4 = 20 [/ matemáticas].
[matemática] y-4 [/ matemática] puede tomar valores entre [matemática] 0 [/ matemática] y [matemática] 9 [/ matemática]. Por lo tanto, hay soluciones [matemáticas] 10 [/ matemáticas].

4) [matemáticas] x = 3 [/ matemáticas]. Entonces [matemáticas] y-4 + z-4 = 19 [/ matemáticas].
Como en el caso anterior, hay soluciones [matemáticas] 10 [/ matemáticas].

Por lo tanto, hay [matemática] 42 [/ matemática] triples ordenados [matemática] (x, y, z) [/ matemática] con [matemática] (x

Como resultado, hay soluciones [matemáticas] 6 \ cdot 42 = 252 [/ matemáticas].

Answer 3

dado x + y + z = 30 y exactamente uno de ellos <= 3 (sea x = {0,1,2,3}). ahora fr x = 0 implica y + z = 30 .. esto implica 31 casos, es decir (0,30), (1,29)…. (30,0) [eliminar (15,15) siendo todos distintos y cualquier otro valor donde uno de ellos <= 3 como exactamente uno es <= 3, es decir, 8 casos], dando 22 casos—> 1
para x = 1 y + z = 29 implica 30 casos distintos y 22 casos donde y, z => 3—> 2
para x = 2 y + z = 28 dando 29 casos y 28 casos distintos eliminando (14,14) y 20 casos donde y, z => 3—> 3
para x = 3 y + z = 27 dando 28 casos distintos y 20 casos donde y, z => 3—> 4
así número total de casos = 20 + 20 + 22 + 22 = 84
pero esto funciona solo para x … para y, z ->
3 * 84 = 252 soluciones …
Puedo estar equivocado en los cálculos, pero el proceso es perfectamente correcto …

Answer 4

X + Y + Z = 30; dado cualquiera de los rangos de números de 0-3 y todos los demás números comienzan desde 4. Por lo tanto, considere las siguientes ecuaciones:

1. X = 0; Y + Z = 30

La solución de la ecuación anterior se obtiene de la fórmula (n-1) C (r-1).

Soluciones totales obtenidas = 29 de las cuales (y, z): (2,27) (27,2) (2,28) (28,2) (1,29) (29,1) no deben contarse ya que contienen 1,2,3 como parte de la solución. Entonces, número total de formas = 29-6 = 23 formas.

2. X = 1; Y + Z = 29

Soluciones totales obtenidas = 28 de las cuales (y, z): (2,27) (27,2) (1,28) (28,1) (3,26) (26,3) no deben contarse ya que contienen 1,2,3 como parte de la solución. Entonces, número total de formas = 28-6 = 22 vías.

3. X = 2; Y + Z = 28

Soluciones totales obtenidas = 27 de las cuales (y, z): (1,27) (27,1) (2,26) (26,2) (3,25) (25,3) no deben contarse ya que contienen 1,2,3 como parte de la solución. Entonces, número total de formas = 27-6 = 21 vías.

4. X = 3; Y + Z = 27

Soluciones totales obtenidas = 26 de las cuales (y, z): (1,26) (26,1) (2,25) (25,2) (3,24) (24,3) no deben contarse ya que contienen 1,2,3 como parte de la solución. Entonces, número total de formas = 26-6 = 20 formas.

Número total de formas = 23 + 22 + 21 + 20

= 84 maneras

Número total de formas considerando X, Y y Z = 84 * 3 = 252

Nota: Me di cuenta de que mi respuesta anterior tenía algunos errores, por lo que tuve que trabajar y rastrear mis pasos para corregir los errores. La respuesta anterior es correcta a lo mejor de mi conocimiento. si aún encuentra algún error, le invitamos a señalar y corregir el error, gracias.

Answer 5

Comencemos con [matemáticas] 0 \ leq x \ leq3 [/ matemáticas] y [matemáticas] 3

[matemáticas] 11 + 11 + 10 + 10 = 42 [/ matemáticas]

soluciones que satisfacen [matemáticas] x + y + z = 30 [/ matemáticas], y hay [matemáticas] 3! = 6 [/ matemáticas] permutaciones de [matemáticas] (x, y, z) [/ matemáticas] así que el total número de soluciones es

[matemáticas] 42 \ veces6 = 252 [/ matemáticas]

Gracias por el A2A.

Answer 6

Consideremos primero un problema más simple. ¿Cuántas soluciones hay para [matemáticas] x + y = a [/ matemáticas], si ambas son enteros no negativos que tienen un valor distinto y [matemáticas] \ ge 4 [/ matemáticas]?
Los siguientes son algunos hechos importantes aquí.

• El valor mínimo que puede tener es 9 .
• Si elegimos uno, di x . Entonces y ya está elegido, es decir, [math] a – x [/ math].
• Debe satisfacer [math] x \ ge 4 [/ math] y [math] a – x \ ge 4 [/ math]. El valor de x es [matemática] 4 \ le x \ le a – 4 [/ matemática]. Entonces, los valores posibles para x son [math] a – 7 [/ math].
• Cuando a es par y [matemáticas] x = a – x [/ matemáticas], tanto x como y tendrán el mismo valor y ese caso debe ignorarse. Entonces, en caso de que a sea par, los valores posibles para x son [matemática] a – 8 [/ matemática].

Ahora, llegando a la pregunta, si elegimos uno de los tres x, y, o z primero un número entre [matemática] 0 \ puntos 21 [/ matemática], el problema se reducirá al descrito anteriormente. Así que vamos a elegir x primero.

• Para [matemática] x = 2k [/ matemática], el número de soluciones para el problema reducido será [matemática] 30 – 2k – 8 = 22 – 2k [/ matemática]. El valor de k variará de 0 a 10.
• Para [matemática] x = 2k + 1 [/ matemática], el número de soluciones para el problema reducido será [matemática] 30 – (2k + 1) – 7 = 22 – 2k [/ matemática]. El valor de k variará de 0 a 10.
• Igual será el caso para elegir y o z primero.

El total, por lo tanto, será
[matemáticas] 3 \ veces 2 \ sum_ {k = 0} ^ {10} (22 – 2k) [/ matemáticas]
[matemáticas] 792 [/ matemáticas]

Answer 7

Digamos, Z es menor que 4 y, X e Y son mayores o iguales a 4, entonces

Cuando Z = 3, X + Y = 27, dado que el valor mínimo de X o Y es 4, entonces el número de soluciones es, 23 -4 + 1 = 20, (4,23, 3), …, (23,4,3 )

Cálculo similar para Z = 2,1,0 e ignorando soluciones como (14,14,2) (15 15, 0)

El número total de soluciones son

(20 + 20 + 22 +22 = 84 soluciones)