¿Cómo se evalúa el límite [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} n ^ {2} \ left (\ int_ {0} ^ {1} (1 + x) ^ {\ frac {1} { n}} \, dx-1 \ right) [/ math]?

Answer 1

Deje [math] a = 1 / n [/ math]. Entonces el límite se acerca al infinito:

[matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} n ^ 2 \ left (\ int_0 ^ 1 (1 + x) ^ {1 / n} dx – 1 \ right) [/ math]

= [matemáticas] \ lim_ {a \ a 0} \ int_0 ^ 1 \ frac {(1 + x) ^ a} {a ^ 2} dx – \ frac {1} {a ^ 2} [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ lim_ {a \ a 0} \ frac {(1 + x) ^ {a + 1}} {a ^ 2 (a + 1)} \ Big \ vert_0 ^ 1 – \ frac {1} { a ^ 2} [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ lim_ {a \ a 0} \ frac {2 ^ {a + 1} – 1} {a ^ 2 (a + 1)} – \ frac {1} {a ^ 2} [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ lim_ {a \ a 0} \ frac {2 ^ {a + 1} – a – 2} {a ^ 2 (a + 1)} [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ lim_ {a \ a 0} \ frac {e ^ {(a + 1) \ ln 2} – a – 2} {a ^ 2 (a + 1)} [/ matemáticas]

Aplicar la regla de L’Hopital conduce a

= [matemáticas] \ lim_ {a \ a 0} \ frac {(\ ln 2) e ^ {(a + 1) \ ln 2} – 1} {3a ^ 2 + 2a} [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ lim_ {a \ a 0} \ frac {(\ ln 2) 2 ^ {a + 1} – 1} {3 a ^ 2 + 2a} [/ matemáticas]

Que se acerca al infinito, ya que el numerador se acerca a [matemáticas] 2 \ ln 2 – 1 [/ matemáticas] y el denominador se aproxima a 0.

Gracias por las correcciones de alguien que desde entonces ha eliminado su comentario. Aparentemente no puedo multiplicar.

Editar: Gracias por las correcciones de Jim Reem. Aparentemente tampoco puedo agregar.

Answer 2

[EDITAR]
La respuesta de Jessica Su anterior es una prueba razonablemente simple y directa de esto. Sin embargo, puede hacerse intuitivamente, lo cual es útil para tener una idea de cuál es la “respuesta correcta”.

1. El área dada por la integral [matemáticas] \ int_ {0} ^ {1} (1 + x) ^ {\ frac {1} {n}} dx [/ matemáticas] se acerca a 1 a medida que n aumenta sin límite.

2. Por lo tanto, el valor de esa integral menos 1 se aproxima a cero cuando n aumenta sin límite.

3. Esto se multiplica por n ^ 2, por lo que si el área menos 1 tiende a 1 / n, el producto se reducirá a n, que aumenta sin límite.

Entonces, ¿esta intuición lleva a la respuesta correcta?

[matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} n ^ {2} \ left (\ int_ {0} ^ {1} (1 + x) ^ {\ frac {1} {n}} dx-1 \ right )[/matemáticas]

[matemáticas] = \ lim_ {n \ to \ infty} n ^ {2} \ left (\ left [\ frac {(1 + x) ^ {(1+ \ frac {1} {n})}} {1 + \ frac {1} {n}} \ right] _ {0} ^ {1} -1 \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ lim_ {n \ to \ infty} n ^ {2} \ left (\ frac {2 ^ {(1+ \ frac {1} {n})} – 1} {1+ \ frac {1 } {n}} – 1 \ derecha) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ lim_ {n \ to \ infty} n ^ {2} \ left (\ frac {2 \ left (1+ \ frac {\ log 2} {n} + \ frac {\ log ^ {2} 2} {2n ^ {2}} +… \ right) – 1} {1+ \ frac {1} {n}} – 1 \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ lim_ {n \ to \ infty} n ^ {2} \ left (\ frac {1+ \ frac {2 \ log 2} {n} + \ frac {\ log ^ {2} 2} { n ^ {2}} +…} {1+ \ frac {1} {n}} – 1 \ right) [/ math]

[matemáticas] \ aprox \ lim_ {n \ to \ infty} {n} ^ {2} \ left (1+ \ frac {2 \ log 2-1} {n + 1} -1 \ right) [/ math]

[math] = \ lim_ {n \ to \ infty} {n} ^ {2} \ left (\ frac {2 \ log 2-1} {n + 1} \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {{n} ^ {2}} {n + 1} \ left (2 \ log 2-1 \ right) = \ infty [/ math]

El detalle intuitivo importante es darse cuenta de que [matemáticas] 2 ^ {(1+ \ frac {1} {n})} – 1 \ aprox 1 + \ frac {2 \ log 2} {n}> 1+ \ frac {1 } {n} [/ math], para todos n> 0. Al menos para mí esa fue la pequeña pieza del rompecabezas que hizo que el resto funcionara.

[EDITAR]
Como William Wong señaló en un comentario, considerando esto como una función con n como la variable independiente, a medida que n aumenta el gráfico se suaviza acercándose a una línea recta, con pendiente [matemática] 2 \ log2-1 [/ matemática]. Este comportamiento se muestra visualmente en la respuesta de John Do.

Answer 3

Parece demasiado fácil preguntarle a Mathematica:
En [1]: = Límite [n ^ 2 (Integrar [(1 + x) ^ (1 / n), {x, 0, 1}] – 1),
n -> Infinito]
Fuera [1] = \ [Infinito]

Entonces, hay una solución de forma cerrada para la integral que tiene un límite que podemos evaluar. La solución de forma cerrada de esta expresión es
En [2]: = n ^ 2 (Integrar [(1 + x) ^ (1 / n), {x, 0, 1}] – 1)
Fuera [2] = n ^ 2 (-1 + ((-1 + 2 ^ (1 + 1 / n)) n) / (1 + n))

Inspeccionar esto gráficamente trazando valores de n entre 1 y 10 ^ 10

Trazar [n ^ 2 (Integrar [(1 + x) ^ (1 / n), {x, 0, 1}] – 1), {n, 1, 10 ^ 10}]

así que esto está aumentando monotónicamente hasta el infinito en el límite.

Answer 4

Es infinito ..

Cuando crees que es cero … no lo es …
Supongamos que consideramos la expresión

1 / x² multiplicado por 5x² como x → ∞

podemos ver que 1 / x² va a cero y 5x² va a ∞

Sin embargo, 1 / x² por 5x² es igual a 5x² / x²

y en este caso, la x² se cancela y la expresión asume
un valor de 5

El mismo argumento se aplica cuando x va a cero porque 1 / x² se vuelve indefinido yendo a + ∞ si 0 se aproxima desde la derecha y 5x²
va a cero Sin embargo, el producto asume un valor de 5 y se aproxima a 5 permaneciendo en 5 incluso cuando la expresión se convierte en
infinito por cero.

Al reemplazar ese 5 con cualquier número real, podemos ver que el
cero veces infinito puede ser igual a cualquier número real.

Sin embargo, ahora considere la expresión
1 / x² multiplicado por 5x ^ 3 como x → ∞

y ahora la expresión se simplificará a 5x, en lugar de solo 5
y esta vez 0 veces ∞ es igual a ∞.

Pero ahora considera
1 / x ^ 6 veces 5x cuando x va a ∞

esto se simplificará a 5x / x ^ 6 = 5 / x ^ 5 y como x → ∞ la expresión
ahora va a cero

En consecuencia, hay muchas maneras de argumentar esto porque es un

FORMULARIO INDETERMINANTE

y solo el contexto del problema puede decirle qué particular
0 veces ∞ se convierte.

======================================…
Editar para
Comentarios adicionales del interlocutor
= sqrt (x) * (1 / sqrt (x))

como x -> ∞, sqrt (x) -> ∞ y 1 / sqrt (x) -> 0.

y -> 1 cuando se observa gráficamente.

Además, los dos términos son obviamente recíprocos. Sin embargo, ¿por qué en el mundo se acerca a 1 en lugar de simplemente igualar uno si los dos son recíprocos?
======================================…
√x / √x es igual a 1 para todos los valores finitos de x. sin embargo
como x → ∞ la expresión se encuentra en un valor de 1 aunque
la x que se convierte en ∞ en el denominador hace que parezca indefinida. Entonces decimos que la expresión se aproxima a 1 como x → ∞ porque siempre es muy muy
cerca de 1, en este caso, exactamente 1.

Resulta que (√x + x ^ (1/100)) / √x no es exactamente 1 sino también
se acerca a 1 como x → ∞ en el sentido en que estás acostumbrado a pensar
de una función que se aproxima a 1, bajando hacia 1 desde
valores ligeramente mayores que 1 cuando x va al infinito para que en
la gráfica, y = 1 es una asíntota horizontal.

sin embargo (x + √x) / √x va a ∞ como x → ∞

Answer 5

[matemáticas] \ int_0 ^ 1 (1 + x) ^ {\ frac {1} {n}} \ text {d} x = \ frac {\ left (2 ^ {\ frac {1} {n} +1} -1 \ right) n} {n + 1} [/ math]

Ahora [matemáticas] n ^ 2 \ left (\ frac {\ left (2 ^ {\ frac {1} {n} +1} -1 \ right) n} {n + 1} – 1 \ right) = [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {2 ^ {\ frac {n + 1} {n}} n ^ 3} {n + 1} – \ frac {2 n ^ 3} {n + 1} – \ frac {n ^ 2} {n + 1} [/ math], pero este último obviamente está dominado, como [math] n \ rightarrow \ infty [/ math], por el primer término, que se acerca al infinito.

Si considera que este último reclamo no es obvio, siempre puede usar de l’Hôpital en [matemáticas] \ frac {2 \ left (2 ^ {1 / n} -1 \ right) n ^ 3} {n + 1} [/ math], que son los dos primeros términos de la expresión anterior.

Answer 6

Podemos calcular la integral como:
[matemáticas] \ int_ {0} ^ {1} (1 + x) ^ \ frac {1} {n} \, dx = \ left [\ frac {(1 + x) ^ \ frac {n + 1} { n}} {\ frac {(n + 1)} {n}} \ right] _ {0} ^ {1} [/ math]
= [matemáticas] \ frac {n} {(n + 1)} \ left (2 ^ \ frac {(n + 1)} {n} – 1 ^ \ frac {(n + 1)} {n} \ right ) [/matemáticas]
entonces la fórmula inicial se calcula como:
[matemáticas] \ frac {n ^ 3} {(n + 1)} \ left (2 ^ \ frac {(n + 1)} {n} – 1 ^ \ frac {(n + 1)} {n} \ derecha) – n ^ 2 [/ matemáticas]
y cuando aplique el límite para [math] n \ to \ infty [/ math] resultará:
[matemáticas] n ^ 2 – n ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

Answer 7

Taylor expande el término (1 + x) ^ (1 / n) sobre x = 0 y divide la integral como una suma infinita de integrales. El primer término cuando se integra da 1 que cancela el 1 fuera de la integral. Los otros términos tendrán respuestas proporcionales a las potencias negativas de n. La primera integral que es proporcional a 1 / n cuando se multiplica por n ^ 2 da infinito ya que n tiende a infinito.

Answer 8

Lo que tienes con n en lugar de n ^ 2 es ln (4) -1, entonces lo que tienes es infinito