Las respuestas dadas son correctas, pero creo que son algo incompletas. Aquí hay varias lecciones útiles que aprender: la conexión lógica entre ecuaciones que se supone que significan lo mismo, y la manipulación de límites.
Primero, comencemos desde arriba, el número misterioso original (que está ligeramente tergiversado en la pregunta):
(1) [matemáticas] x = 1 + \ frac {1} {1+ \ frac {1} {1+ \ ldots}} [/ matemáticas]
Lo primero que debemos preguntarnos es, ¿qué significa incluso la expresión de la derecha? ¿Qué vamos a hacer con el “…” allí? ¿Es obvio que esta yuxtaposición de 1’s y +’s y otras cosas incluso corresponde a un número definido?
- Si [math] x> \ sqrt {c} [/ math], ¿por qué sigue que [math] \ frac {1} {2} (x + \ frac {c} {x})> \ sqrt {c} [/matemáticas]?
- MapReduce: ¿Cómo se usan los monoides en la programación práctica?
- ¿Cómo es que [math] (x + 1) [/ math] es un factor del polinomio [math] (x ^ m + 1) [/ math] si [math] m [/ math] es impar?
- ¿Cuál es el número N tal que el máximo común divisor de 2472, 1284 y N sea 12, mientras que su mínimo común múltiplo es [matemática] 2 ^ 3 \ cdot3 ^ 2 \ cdot5 \ cdot103 \ cdot107 [/ matemática]?
- ¿Por qué la suma de 3 enteros impares consecutivos (n + (n + 2) + (n + 4)) tiene la misma fórmula que la suma de 3 enteros pares consecutivos (n + (n + 2) + (n + 4)), mientras que la suma de 3 enteros es (n + (n + 1) + (n + 2))?
Un enfoque es decir que la expresión es una abreviatura de cierto límite , siendo el límite de una secuencia que razonablemente se puede considerar
[matemáticas] x_0 = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] x_1 = 1 + \ frac {1} {1} [/ matemáticas]
[matemáticas] x_2 = 1 + \ frac {1} {1+ \ frac {1} {1}} [/ matemáticas]
…
[matemáticas] x_ {n + 1} = 1 + \ frac {1} {x_n} [/ matemáticas].
Cada número aquí es uno más que el recíproco del anterior. Por ejemplo, [matemáticas] x_2 = \ frac {3} {2} [/ matemáticas] así que [matemáticas] x_3 = \ frac {5} {3} [/ matemáticas] y [matemáticas] x_4 = \ frac {8} {5 }[/matemáticas]. Si crees que estás reconociendo algunos números de Fibonacci aquí, tienes razón.
Luego, desearemos definir [matemáticas] x = \ lim_ {n \ to \ infty} x_n [/ matemáticas], y eso requiere que demostremos que este límite existe. Esto no es demasiado difícil de hacer en este caso: los elementos pares en esta secuencia aumentan mientras que los impares disminuyen, ambas subsecuencias están delimitadas y la diferencia entre ellas disminuye a 0.
Una vez que hayamos establecido eso, podemos tomar los límites de ambos lados de la última ecuación y concluir, usando [matemáticas] \ lim (1+ \ frac {1} {x_n}) = 1+ \ frac {1} {\ lim x_n} [/ math], que:
(2) [matemáticas] x = 1+ \ frac {1} {x} [/ matemáticas].
Entonces, el flujo de ideas fue este: si el número [matemáticas] x [/ matemáticas] se define mediante la ecuación (1) bajo esta interpretación, entonces [matemáticas] x [/ matemáticas] también debe satisfacer la ecuación (2). Nunca dijimos nada sobre la implicación inversa: no afirmamos que cualquier número que satisfaga (2) también debe satisfacer (1), y es algo bueno que no lo hiciéramos, ya que eso no es cierto.
Los estudiantes a menudo pasan por alto este punto: estamos acostumbrados a manipular ecuaciones y asumir que cualquier solución de lo que obtuvimos al final es una solución con la que comenzamos. Esto puede o no ser cierto, dependiendo de las operaciones que realizamos.
La ecuación (2) es una cierta restricción que el número dado por (1) debe satisfacer, eso es todo. Las soluciones de (2) son los únicos candidatos posibles para ser el número definido por (1), pero si hay varios, debemos usar información adicional para elegir el correcto.
Pero, ¿qué sucede si comenzamos con (2)? ¿Podemos concluir que (1) debe sostenerse?
Deje que [math] x [/ math] sea cualquier ecuación que satisfaga un número (2). Al sustituir esa misma ecuación por [math] x [/ math] en la parte inferior derecha, concluimos que cualquier [math] x [/ math] también debe satisfacer
(2 ‘) [matemáticas] x = 1+ \ frac {1} {1+ \ frac {1} {x}} [/ matemáticas]
y sustituyendo una vez más, concluimos además que
(2 ”) [matemáticas] x = 1+ \ frac {1} {1+ \ frac {1} {1+ \ frac {1} {x}}} [/ matemáticas]
y otra vez…
(2 ” ‘) [matemáticas] x = 1+ \ frac {1} {1+ \ frac {1} {1+ \ frac {1} {1+ \ frac {1} {x}}}} [/ matemáticas]
y podemos continuar así por el tiempo que queramos. Es importante tener en cuenta que todas estas ecuaciones realmente se siguen de (2), y en particular, todas son realmente verdaderas si [math] x = \ frac {1- \ sqrt {5}} {2} [/ math] .
Ahora es tentador decir que cualquier [matemática] x [/ matemática] debe ser igual al “límite” de esas expresiones fraccionarias finitas:
(1) [matemáticas] x = 1 + \ frac {1} {1+ \ frac {1} {1+ \ ldots}} [/ matemáticas]
pero aquí es donde falla la conclusión. Simplemente no es cierto que cualquier número que satisfaga (2), (2 ‘), (2’ ‘), (2’ ”), etc., también debe satisfacer la ecuación (1). Por ejemplo, puede haber un número negativo que satisfaga esas ecuaciones (de hecho, ¡lo hay!), Pero cualquier interpretación razonable de (1) arrojará un número positivo.
¿Por qué no podemos inferir (1) de la secuencia (2), (2 ‘), (2’ ‘) y así sucesivamente? Esa no es una pregunta bien definida; esa inferencia es falsa porque simplemente no es verdad, y no existe un teorema de análisis que pretenda mostrar lo contrario. Es útil mirar a (2 ” ‘) y a sus hermanos y preguntarse si asumiría que cualquier cosa satisfactoria también debe satisfacer (1). Si lo crees, es una buena oportunidad para corregir tu intuición y desarrollar un escepticismo saludable hacia manipulaciones simplistas de secuencias infinitas de ecuaciones.