¿Cómo es que [math] (x + 1) [/ math] es un factor del polinomio [math] (x ^ m + 1) [/ math] si [math] m [/ math] es impar?

Answer 1

[math] x + 1 [/ math] es un factor de un polinomio [math] f (x) [/ math] si y solo si [math] f (-1) = 0. [/ math] Since [math] (-1) ^ m + 1 = 0 [/ matemática] cuando [matemática] m [/ matemática] es impar, por lo tanto [matemática] x + 1 [/ matemática] es un factor de [matemática] x ^ m + 1 [ / math] cuando [math] m [/ math] es impar.

También es útil saber cómo factorizar [matemáticas] x ^ m + 1 [/ matemáticas] para impares [matemáticas] m. [/ Matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3 + 1 = (x + 1) (x ^ 2-x + 1) [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 5 + 1 = (x + 1) (x ^ 4-x ^ 3 + x ^ 2-x + 1) [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 7 + 1 = [/ matemáticas] [matemáticas] (x + 1) (x ^ 6-x ^ 5 + x ^ 4-x ^ 3 + x ^ 2-x + 1) [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ m + 1 = [/ matemáticas] [matemáticas] (x + 1) (x ^ {m-1} -x ^ {m-2} + \ cdots + x ^ 2-x + 1) [ /matemáticas]

Tenga en cuenta que el último término es una suma alterna. Puede verificar estas identidades comprobando que los únicos términos en los productos en el lado derecho de la ecuación que no son 0 son los que aparecen en el lado izquierdo.

Answer 2

Usar la ley de factores .
Suponga que x + 1 = 0
x = -1
Pon x = -1 en x ^ m + 1
Obtenemos,
(-1) ^ m + 1
es igual a cero cuando m es impar, entonces por ley de factor x + 1 es factor de x ^ m + 1 cuando m es impar

Answer 3

Para cualquier polinomio P, (x – a) es un factor de P (x) si a es raíz de P. Como -1 es una raíz de x ^ m + 1 si m es impar, (x + 1) es un factor de x ^ m + 1 si m es impar.

Answer 4

[matemática] x + 1 [/ matemática] es un factor de un polinomio si y solo si [matemática] -1 [/ matemática] es una raíz de ese polinomio.

Si estamos trabajando en números reales o complejos, entonces [math] (- 1) ^ m + 1 [/ math] es igual a cero exactamente en los casos en que m es un número entero impar.

Entonces, al unir esos dos hechos, [matemática] x ^ m + 1 [/ matemática] tiene un factor [matemática] x + 1 [/ matemática] si y solo si [matemática] m [/ matemática] es impar.

También podemos aplicar el razonamiento a exponentes negativos, pero eso no es muy interesante porque [matemáticas] x ^ {- m} +1 = \ frac {1 + x ^ m} {x ^ m} [/ matemáticas] por lo que simplemente reduce hasta el caso positivo.

Sin embargo, la parte “solo si” no es cierta para los polinomios sobre anillos arbitrarios. [matemática] x + 1 [/ matemática] puede ser un factor incluso si [matemática] m [/ matemática] es par. Por ejemplo, sobre [math] \ Z_2 [/ math] (el campo finito de orden 2), [math] x ^ 4 + 1 = (x + 1) ^ 4 [/ math]. La reducibilidad de [math] x ^ m + 1 [/ math] sobre [math] \ Z [/ math] asegura también su reducibilidad sobre campos finitos.

Answer 5

Aquí hay una prueba que solo requiere manipular algunas sumas. No estoy seguro de que la prueba sea lo que está pidiendo, pero tal vez sea útil.
Considerar:
[matemáticas] (x + 1) \ sum_ {k = 0} ^ {m-1} (-1) ^ {k} x ^ {m-1-k} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ sum_ {k = 0} ^ {m-1} (-1) ^ {k} x ^ {mk} + \ sum_ {k = 0} ^ {m-1} (-1) ^ { k} x ^ {m-1-k} [/ matemáticas]

[matemáticas] = x ^ m + \ sum_ {k = 1} ^ {m-1} (-1) ^ {k} x ^ {mk} [/ matemáticas] [matemáticas] + \ sum_ {k = 0} ^ { m-2} (-1) ^ {k} x ^ {m-1-k} + (-1) ^ {m-1} [/ matemáticas] [matemáticas] = x ^ m + (-1) ^ {m -1} + \ sum_ {k = 0} ^ {m-2} (-1) ^ {k + 1} x ^ {m- (k + 1)} + [/ matemáticas] [matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ {m-2} (-1) ^ {k} x ^ {m-1-k} [/ math]
[matemática] = x ^ m + (-1) ^ {m-1} + [/ matemática] [matemática] \ sum_ {k = 0} ^ {m-2} [(-1) ^ {k + 1} + (-1) ^ {k}] x ^ {m- (k + 1)} [/ math]
[matemáticas] = x ^ m + (-1) ^ {m-1} [/ matemáticas]

Observe que si m es par, [matemáticas] (x + 1) \ sum_ {k = 0} ^ {m-1} (-1) ^ {k} x ^ {m-1-k} = x ^ m – 1 [/ matemáticas].
Si m es impar, [matemáticas] (x + 1) \ sum_ {k = 0} ^ {m-1} (-1) ^ {k} x ^ {m-1-k} = x ^ m +1 [ /matemáticas].

Entonces [math] x + 1 [/ math] es siempre un factor de [math] x ^ m + 1 [/ math] para m impar . La suma es el polinomio que es el otro factor.

Answer 6

Busque “división sintética”. Es una división ordinaria pero hecha con símbolos. Si hace que el problema parezca una división larga, con x + 1 a la izquierda y x ^ n + 1 debajo del símbolo de división, simplemente proceda como lo haría en la división larga ordinaria. Verá que la división funciona sin resto solo si n es impar. (De lo contrario, el resto es -x + 1.)

Answer 7

Teorema del factor: si f (a) = 0 →font> (x — a) es un factor de f (x)

Deje f (x) = x ^ m + 1 yf (—1) = 0

(1) ^ m + 1 = 0

(1) ^ m = –1

Para satisfacer esto, m tiene que ser extraño

Answer 8

Si m es impar, x ^ m + 1 = – ((- x) ^ m – 1) = – (- x – 1) ((- x) ^ {m – 1} +… + 1) = (x + 1) (x ^ {m – 1} -… + 1)