Sea [math] \ mathcal L [f_n (x)] = \ dfrac {1} {s (s + 1) \ cdots (s + n)} [/ math].
Entonces [math] f_0 (x) = \ mathcal L ^ {- 1} \ left [\ dfrac 1 s \ right] = 1 [/ math].
Observa eso
[matemáticas] \ dfrac {1} {s \ cdots (s + n-1)} – \ dfrac {1} {(s + 1) \ cdots (s + n)} [/ math]
[matemáticas] = \ dfrac {n} {s (s + 1) \ cdots (s + n)} [/ matemáticas]
[matemáticas] = n \ matemáticas L [f_n (x)] [/ matemáticas].
El primer término en el LHS es obviamente [matemática] \ matemática L [f_ {n-1} (x)] [/ matemática], y el segundo es [matemática] \ matemática L [e ^ {- x} f_ {n -1} (x)] [/ math] (por el teorema de desplazamiento). Así:
[matemática] \ matemática L [f_n (x)] = \ dfrac {1} {n} \ left (\ matemática L [f_ {n-1} (x)] – \ matemática L [e ^ {- x} f_ {n-1} (x)] \ right) \ Rightarrow [/ math]
- ¿Por qué la gráfica de x ^ (ln y) = y ^ (ln x) es el primer cuadrante abierto? ¿En qué clase debería haber aprendido eso y cómo podría probarlo?
- ¿Es beneficioso repetir cientos de ecuaciones para la tarea usando la misma fórmula si el estudiante ya comprende completamente el concepto del procedimiento?
- ¿Se define [matemática] 4 \ veces 6 [/ matemática] como [matemática] 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 [/ matemática] o [matemática] 6 + 6 + 6 + 6 [/ matemática]?
- Supongamos que f (a, b, c) se define como el número de composiciones débiles (particiones ordenadas que permiten ceros) de a en exactamente b partes con cada parte no mayor que c. ¿Qué fórmulas recursivas satisface esta función?
- ¿Por qué la función zeta de Riemann [matemática] \ xi (s) [/ matemática] evalúa a [matemática] 0 [/ matemática] para [matemática] s = -2k-2 [/ matemática] para [matemática] k \ in \ N [/ matemáticas]?
[matemáticas] f_n (x) = \ dfrac {(1 – e ^ {- x}) f_ {n-1} (x)} {n} [/ matemáticas]
Resolviendo esta relación de recurrencia:
[matemáticas] f_n (x) = \ dfrac {(1 – e ^ {- x}) ^ n} {n!} f_0 (x) = \ dfrac {(1 – e ^ {- x}) ^ n} { n!} [/ matemáticas]
Por lo tanto, [math] \ mathcal L ^ {- 1} \ left [\ dfrac {n!} {S (s + 1) \ cdots (s + n)} \ right] = (1 – e ^ {- x} ) ^ n [/ matemáticas].