¿Por qué la gráfica de x ^ (ln y) = y ^ (ln x) es el primer cuadrante abierto? ¿En qué clase debería haber aprendido eso y cómo podría probarlo?

Answer 1

Hay varias formas de abordar esto.

Primero, como una pregunta de forma cerrada, es posible que desee eliminar las respuestas incorrectas. Puede observar que cualquier punto [matemática] (x, y) [/ matemática] con [matemática] y = x [/ matemática] obviamente satisface la ecuación (no se necesitan cálculos). La ecuación tiene una simetría visible en [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas], por lo que la observación es bastante natural.

Esto ya elimina (A), (B) y (D). Para que (C) sea la respuesta correcta, no debe haber otro punto que satisfaga esta ecuación, por lo que el siguiente paso podría ser buscar otras soluciones simples. ¿Cuáles son algunos números fáciles? Bueno, puedes probar [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas], [matemáticas] y = 2 [/ matemáticas] solo por patadas. Oye, ¿qué sabes? Funcionó. De hecho, al hacer esto, puede notar que [math] x = 1 [/ math] funciona con cualquier [math] y [/ math] positivo, por lo que esto no solo elimina (C), sino que también sugiere que esto La ecuación puede tener más soluciones de las que podrías haber imaginado. Ahora puede marcar (E) y seguir adelante.

Una mejor manera, por supuesto, es demostrar que (E) es realmente la respuesta correcta. Como otros han sugerido, es un buen instinto tomar logaritmos en ecuaciones que tienen exponentes, y cuando lo haces, encuentras

[matemáticas] \ ln (y) \ ln (x) = \ ln (x) \ ln (y) [/ matemáticas]

lo cual es visiblemente cierto sin importar qué valores positivos de [matemática] x, y [/ matemática] estén conectados.

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Ambos enfoques requieren solo el conocimiento de lo que son los logaritmos. Creo que tal conocimiento generalmente se adquiere en la escuela secundaria, no en una clase de pregrado. Lo que hace que esta pregunta sea un poco complicada es que muchos estudiantes están condicionados a pensar en el “gráfico” como una curva unidimensional; pero si recuerda que el “gráfico” es solo el conjunto de puntos en los que se satisface una ecuación, ha superado el obstáculo psicológico principal para resolver esta pregunta.

Answer 2

Tome el logaritmo de ambos lados, y puede ver que la igualdad se cumple para cada punto para el que se definen los logaritmos. Como no puede tomar el logaritmo de cero o números negativos, los puntos del primer cuadrante abierto son las únicas posibilidades.

Answer 3

Entonces, mi primer pensamiento fue que no se puede tomar el registro de un número negativo, por lo tanto, sería solo el primer cuadrante, donde x e y son positivos. La ecuación simplemente no está definida para otros valores de x e y.

El segundo pensamiento fue tomar el ln de ambos lados: [matemáticas] ln (x ^ {ln (y)}) = ln (y ^ {ln (x)}) [/ math]

Tomar el registro de un exponente convierte la exponenciación en multiplicación (p. Ej., [Matemáticas] ln (a ^ {b}) = b ln (a) [/ matemáticas]). Usando esa regla, la ecuación se convierte en:
[matemáticas] ln (y) ln (x) = ln (x) ln (y) [/ matemáticas].
Como los dos lados de la ecuación son iguales, esto vale para todos los valores de x e y para los que se definen ln (x) e ln (y). Por eso es el primer cuadrante abierto .

En mi universidad, esto se cubrió en el segundo curso de cálculo de primer año llamado Cálculo II.

Personalmente, creo que deberían ser todos los puntos, porque uno podría usar números complejos para tomar el registro de un número negativo (es decir, [matemática] ln (-x) = ln (i \ pi) + log (x) [/ matemática] , y estos términos complejos se cancelarían en ambos lados, pero estoy oxidado en análisis complejos, por lo que podría haber una buena razón para no hacer algo así.

Answer 4

Bien,

[matemáticas] x ^ {\ ln (y)} = \ exp (\ ln (x) \ ln (y)) = y ^ {\ ln (x)} [/ matemáticas]

Esta ecuación es en realidad un buen ejemplo como reemplazo conmutativo para la operación de energía 🙂

Answer 5

Nominalmente, deberías haber aprendido los ingredientes esenciales para esto en el cálculo previo, aunque dudo que alguna vez hayas formulado una pregunta como esta. Eso es bastante difícil para el GRE, al menos por lo que recuerdo de ese examen.

Answer 6

Tomar el registro de ambos lados da como resultado una identidad: ln (x) ln (y) = ln (y) ln (x)

Por lo tanto, la ecuación se mantiene en cualquier lugar donde esté definida, que es el primer cuadrante.