El método llamado SFFT (truco de factorización favorito de Simon) se puede utilizar para resolver esto:
2013x + 2013y – xy = 0
(x-2013) (2013-y) = -2013 ^ 2
(x-2013) (y-2013) = 2013 ^ 2
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Dado que xey son números enteros, la pregunta se ha reducido a encontrar el número de formas en que 2013 ^ 2 puede expresarse como producto de dos números desiguales (como se dice que x> y, es decir, xey no son iguales). 2013 ^ 2 se descompone en factores primos como:
2013 ^ 2 = 3 x 3 x 671 x 671 = 3 x 3 x 11 x 11 x 61 x 61
Ahora tenemos que encontrar de cuántas maneras los números primos anteriores (3,3,11,11,61,61) se pueden agrupar en dos, y los factores resultantes. Los grupos son los siguientes y hay doce grupos en total.
Con una prima en un grupo:
(3), (3,11,11,61,61) es decir (3, 1350723)
(11), (3,3,11,61,61) es decir (11, 368379)
(61), (3,3,11,11,61) es decir (61, 66429)
Con dos números primos en un grupo:
(3,3), (11,11,61,61) es decir (9, 450241)
(11,11), (3,3,61,61) es decir (121, 33489)
(61,61), (3,3,11,11) es decir (3721, 1089)
(3,11), (3,11,61,61) es decir (33, 122793)
(3,61), (3,11,11,61) es decir (183, 22143)
(11,61), (3,3,11,61) es decir (671, 6039)
Con tres números primos en ambos grupos:
(3,3,11), (11,61,61) es decir (99, 40931)
(3,3,61), (11,11,61) es decir (549, 7381)
(11,11,3), (3,61,61) es decir (363, 11163)
Cabe señalar que (3,11,61), (3,11,61) no se considerará, ya que conduciría a x = y
Por último, debemos considerar 2013 ^ 2 como 1 x 2013 ^ 2, es decir (1, 4052169), lo que la convierte en la decimotercera forma de expresar 2013 ^ 2 como producto de dos números desiguales. Por lo tanto, hay trece pares de soluciones (x, y) y con x no igual a y.
Entonces, para los trece pares de números cuyo producto es 2013 ^ 2, los trece conjuntos de soluciones (y, x) son los siguientes:
(3 + 2013, 1350723 + 2013)
(11 + 2013, 368379 + 2013)
(61 + 2013, 66429 + 2013)
(9 + 2013, 450241 + 2013)
(121 + 2013, 33489 + 2013)
(3721 + 2013, 1089 + 2013)
(33 + 2013, 122793 + 2013)
(183 + 2013, 22143 + 2013)
(671 + 2013, 6039 + 2013)
(99 + 2013, 40931 + 2013)
(549 + 2013, 7381 + 2013)
(363 + 2013, 11163 + 2013)
(1 + 2013, 4052169 + 2013)
EDITAR1:
Si podemos considerar los valores negativos de x, y también, a continuación hay trece pares más de productos:
(-3, -1350723)
(-11, -368379)
(-61, -66429)
(-9, -450241)
(-121, -33489)
(-3721, -1089)
(-33, -122793)
(-183, -22143)
(-671, -6039)
(-99, -40931)
(-549, -7381)
(-363, -11163)
(-1, -4052169)
En ese caso, trece soluciones más (x, y) son las siguientes:
(-3 + 2013, -1350723 + 2013)
(-11 + 2013, -368379 + 2013)
(-61 + 2013, -66429 + 2013)
(-9 + 2013, -450241 + 2013)
(-121 + 2013, -33489 + 2013)
(-3721 + 2013, -1089 + 2013)
(-33 + 2013, -122793 + 2013)
(-183 + 2013, -22143 + 2013)
(-671 + 2013, -6039 + 2013)
(-99 + 2013, -40931 + 2013)
(-549 + 2013, -7381 + 2013)
(-363 + 2013, -11163 + 2013)
(-1 + 2013, -4052169 + 2013)