Un periodista compra N periódicos a un precio de cada uno y vende a un precio b cada uno (b> a). Los documentos no vendidos se devuelven a un precio c cada uno (c <a). La probabilidad de vender n periódicos es p (n) (n = 1,2 …). Encuentre su beneficio esperado. ¿Cuántos periódicos debería comprar para maximizar las ganancias?

Answer 1

Sea [math] q (k) [/ math] denota la probabilidad de vender al menos [math] k [/ math] periódicos, es decir, [math] q (k) = \ sum \ limits_ {n = k} ^ {\ infty } p (n) [/ matemáticas].

La ganancia esperada de Boy si solo compra 1 periódico es:

[matemáticas] \ pi_1 = q (1) (ba) + (1-q (1)) (ca) [/ matemáticas]

La ganancia del niño si compra 2 periódicos es:

[matemáticas] \ pi_2 = q (1) (ba) + (1-q (1)) (ca) + q (2) (ba) + (1-q (2)) (ca) = \ pi_1 + q (2) (ba) + (1-q (2)) (ca) [/ matemáticas]

es decir, el beneficio de comprar dos periódicos es igual al beneficio del primer periódico más el beneficio marginal del segundo.

Del mismo modo, el beneficio del niño si compra 3 periódicos es:

[matemáticas] \ pi_3 = \ pi_2 + q (3) (ba) + (1-q (3)) (ca) [/ matemáticas]

Del mismo modo, la ganancia esperada del niño si compra el periódico [matemáticas] N [/ matemáticas] es:

[matemáticas] \ pi_N = \ pi_ {N-1} + q (N) (ba) + (1-q (N)) (ca) [/ matemáticas]

Dado que [matemática] q (k) [/ matemática] está disminuyendo en [matemática] k [/ matemática], la ganancia marginal [matemática] q (k) (ba) + (1-q (k)) (ca) [ / math] está disminuyendo en [math] k [/ math], por lo tanto, la opción de maximización de ganancias [math] N ^ * [/ math] es el mayor entero [math] k [/ math] que satisface:

[matemáticas] q (k) (ba) + (1-q (k)) (ca) \ geq 0 [/ matemáticas] es decir

Entonces [math] N ^ * [/ math] resuelve:

[matemáticas] q (N ^ *) (ba) + (1-q (N ^ *)) (ca) \ geq 0 [/ matemáticas]

y [matemáticas] q (N ^ * + 1) (ba) + (1-q (N ^ * + 1)) (ca) <0 [/ matemáticas].

Answer 2

Precio de coste
[matemáticas] Na [/ matemáticas]

Deje que el precio de venta sea una variable aleatoria, digamos
[matemáticas] X [/ matemáticas]

Por lo tanto, beneficio esperado,
[matemáticas] P = E (X – Na) [/ matemáticas]

Por linealidad de expectativa
[matemáticas] P = E (X – Na) = E (X) – Na [/ matemáticas]

Ahora, digamos que el chico gana
[matemáticas] X_ {1} [/ matemáticas]
vendiendo periódicos.

Y
[matemáticas] X_ {2} [/ matemáticas]
devolviendo periódicos no vendidos.

Entonces
[matemáticas] X = X_ {1} + X_ {2} [/ matemáticas]

Supongamos que él vende
[matemáticas] k [/ matemáticas]
Periódicos [math] k [/ math] es una variable aleatoria aquí.

Entonces,
[matemáticas] X_ {1} = kb [/ matemáticas]
[matemáticas] X_ {2} = (N – k) c [/ matemáticas]
[matemáticas] X = kb + (N – k) c [/ matemáticas]
[matemáticas] X = (b – c) k + Nc [/ matemáticas]

Por lo tanto,
[matemáticas] E (X) = E [(bc) k + Nc] [/ matemáticas]

Por linealidad de expectativa,
[matemática] E (X) = (b – c) E (k) + Nc [/ matemática]

Ahora,
[matemáticas] E (k) = \ sum kp (k) [/ matemáticas]

Entonces,
[matemáticas] E (X) = (b – c) \ sum kp (k) + Nc [/ matemáticas]

Ganancia esperada,
[matemáticas] P = [/ matemáticas] [matemáticas] E (X) – Na = (b – c) \ sum kp (k) + Nc – Na [/ matemáticas]

No puedo llegar a la respuesta para el valor máximo ya que la distribución [matemática] p (k) [/ matemática] no está definida, pero si se hubiera especificado, la forma de hacerlo habría sido diferenciar [ matemática] P [/ matemática] wrt [matemática] N [/ matemática], iguale el diferencial a [matemática] 0 [/ matemática] y luego encuentre el valor de [matemática] N [/ matemática] que lo hace así.