La función zeta de Riemann en enteros pares negativos no es igual a la suma que publica anteriormente, porque la función zeta de Riemann no se define como
[matemáticas] \ zeta (s) = \ sum_ {k = 1} ^ \ infty k ^ {- s} [/ matemáticas]
sino que es más bien esa continuación analítica de la función anterior (vea Continuación analítica y observe la sección sobre la unicidad de tales continuaciones)
Por lo tanto, para calcular la función zeta de Riemann en tales puntos, todo lo que uno necesita hacer es encontrar alguna función analítica que sea igual a la suma anterior cuando no diverge. La siguiente ecuación funcional fue establecida por Riemann como una forma de definir la función zeta de Riemann (ver la ecuación funcional para la función Zeta de Riemann como prueba),
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[matemáticas] \ zeta (s) = 2 ^ s \ pi ^ {s-1} \ \ sin \ left (\ frac {\ pi s} {2} \ right) \ \ Gamma (1-s) \ \ zeta (1-s) [/ matemáticas]
donde [math] \ Gamma [/ math] es la función Gamma, lo que implica inmediatamente que todos los enteros negativos son ceros de la función desde
[matemáticas] \ sin (k \ pi) = 0 [/ matemáticas]
por eso estos ceros se conocen como los ceros “triviales”.
Una cosa importante a tener en cuenta es que la ecuación anterior no implica que los enteros pares positivos sean ceros, ya que la función gamma tiene polos simples en los enteros negativos y, por lo tanto, no se puede evaluar [matemáticas] \ Gamma (1-s) [/ matemáticas ] para [matemáticas] s> 1 [/ matemáticas]. Afortunadamente, en todos esos casos, la suma estándar es suficiente para calcular la función, donde converge a un valor finito, uno que de hecho se puede expresar exactamente:
[matemáticas] \ zeta (2n) = \ frac {(- 1) ^ {n + 1} B_ {2n} (2 \ pi) ^ {2n}} {2 (2n)!} [/ matemáticas]