Si [math] z = x + iy [/ math], ¿cómo puede uno encontrar las partes reales e imaginarias de [math] \ frac {z} {z + 1} [/ math] en términos de [math] x, y [/ math] con la respuesta simplificada tanto como sea posible?

Answer 1

[matemáticas] z = x + iy [/ matemáticas]

[matemáticas] z + 1 = (x + 1) + iy [/ matemáticas]

Ahora, [math] \ dfrac {z} {z + 1} = \ dfrac {x + iy} {(x + 1) + iy} [/ math]

Multiplicando y dividiendo por el conjugado de [matemáticas] z + 1 [/ matemáticas],

[matemáticas] \ dfrac {z} {z + 1} = \ dfrac {x + iy} {(x + 1) + iy} \ times \ dfrac {(x + 1) – iy} {(x + 1) – iy} [/ matemáticas]

[matemática] = \ dfrac {(x + iy) ((x + 1) – iy)} {((x + 1) + iy) ((x + 1) – iy)} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {x ^ 2 + x – ixy + ixy + iy – (iy) ^ 2} {(x + 1) ^ 2 – (iy) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {x ^ 2 + x + iy – (- y ^ 2)} {(x + 1) ^ 2 – (-y ^ 2)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {x ^ 2 + x + iy + y ^ 2} {(x + 1) ^ 2 + y ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {x ^ 2 + y ^ 2 + x} {(x + 1) ^ 2 + y ^ 2} + i \ dfrac {y} {(x + 1) ^ 2 + y ^ 2} [/matemáticas]

Por lo tanto, la parte real de [matemáticas] \ dfrac {z} {z + 1} = Re (\ dfrac {z} {z + 1}) = \ dfrac {x ^ 2 + y ^ 2 + x} {(x +1) ^ 2 + y ^ 2} [/ matemáticas]

La parte imaginaria de [matemáticas] \ dfrac {z} {z + 1} = Im (\ dfrac {z} {z + 1}) = \ dfrac {y} {(x + 1) ^ 2 + y ^ 2} [/matemáticas]

Answer 2

Lo explicaré con el mayor cuidado y la mayor ayuda posible.

La idea clave es mantener los números complejos en la forma a + ib

Answer 3

Como señala Milos, desea multiplicar arriba y abajo por el complejo conjugado del fondo. Esto da como resultado un componente puramente real en la parte inferior (sin componente imaginario). Al hacer esto, puede expresarlo en forma de a + ib, que es más simple que tenerlo en forma fraccional con un número complejo en la parte superior e inferior.

Entonces, en su ejemplo, el denominador es (z + 1) que es (x + iy + 1) o (x + 1 + iy). El conjugado complejo de eso es (x + 1-iy). Milos muestra las matemáticas desde allí.

Answer 4

(x + iy) / (x + iy + 1) = ((x + iy) * (x-iy + 1)) / ((x + iy + 1) * (x-iy + 1)) = (x ^ 2 + y ^ 2 + x) / ((x + 1) ^ 2 + y ^ 2)) + i * y / ((x + 1) ^ 2 + y ^ 2)
Todo lo que se usa aquí es bien conocido igualdad a ^ 2-b ^ 2 = (ab) * (a + b) e i ^ 2 = -1.

Answer 5

z / (z + 1) = (z + 1–1) / (z + 1) = 1- (1 / (z + 1))

1 / (z + 1) = 1 / {(x + 1) + iy} = (x + 1-iy) / {x² + 2x + 1-y²}

Re. parte = x / {y²-x²-2x-1}

Im.part = y / {x²-y² + 2x + 1}