Había un tema completo dedicado al problema de resolver ecuaciones polinómicas llamado la teoría de ecuaciones . A veces se enseñaba como un curso universitario en la primera mitad del siglo XX.
El problema de determinar si había raíces de polinomios de grado par ≥ 4 fue una de las partes difíciles del curso. A veces tienen raíces, a veces no. Aquí hay uno que simplemente echa de menos tener raíces:
Las ecuaciones de grados impares no son un problema. Puede encontrar una raíz de un polinomio impar con facilidad ya que para valores negativos grandes sus signos son opuestos a sus signos para valores positivos grandes, por lo que según el teorema del valor intermedio son 0 en alguna parte. Puedes usar el método de bisección, el método de Horner o el método de Newton para encontrar una raíz.
Pero, ¿qué pasa con los polinomios de sexto grado y otros grados pares? Sus derivados son ecuaciones de menor grado, y podrás encontrar todas sus raíces de forma recursiva. Eso significa que conoce los máximos y mínimos del polinomio original, para que pueda encontrar sus raíces.
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Sin embargo, el método habitual que se usa es algo diferente. Se llama teorema de Sturm. Puede encontrarlo descrito en la página 86 del Primer curso de Leonard Eugene Dickson en Theory of Equations, Wiley & Sons, 1922. Vea la edición del Proyecto Gutenburg en línea en gutenberg.org.