¿Se define [matemática] 4 \ veces 6 [/ matemática] como [matemática] 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 [/ matemática] o [matemática] 6 + 6 + 6 + 6 [/ matemática]?

Answer 1

Ninguno de ellos Es mejor pensar que la multiplicación es una función separada, no una suma repetida. Considera lo siguiente:

Si 2 * pi se define como la suma de pi dos veces, es decir, pi + pi, ¿qué es pi * 2? ¿Cuántas veces se deben agregar 2?

Buena lectura: no hay adición repetida (por el matemático Keith Devlin)

“Comencemos con el hecho subyacente. La multiplicación simplemente no es una suma repetida, y decirles a los alumnos jóvenes que inevitablemente conlleva problemas cuando posteriormente aprenden que no es así. La multiplicación de números naturales ciertamente da el mismo resultado que la suma repetida, pero eso sí no es lo mismo. Montar mi bicicleta me lleva a mi oficina casi al mismo tiempo que tomo mi automóvil, pero los dos procesos son muy diferentes. Decirles a los estudiantes falsedades bajo el supuesto de que pueden corregirse más tarde rara vez es una buena idea. Y decirles que la multiplicación es una suma repetida definitivamente requiere deshacer más tarde.

Cuanto mas tarde Tan pronto como el niño progresa de la multiplicación de números enteros a la multiplicación por fracciones (o números reales arbitrarios). En ese punto, tienes que contar una historia diferente.

“Oh, entonces la multiplicación de fracciones es un tipo DIFERENTE de multiplicación, ¿verdad?” dirá un niño brillante, preguntándose cuántas veces más va a cambiar las reglas. No es de extrañar que tanta gente termine pensando que las matemáticas son solo un montón de reglas arbitrarias e ilógicas que no se pueden resolver sino que simplemente se deben aprender, solo para que se les quite la alfombra cuando la regla que acaban de aprender es reemplazada por alguna otra regla (aparentemente) arbitraria e ilógica.

Pretender que solo hay una operación básica sobre números (ya sean fracciones de números enteros, o lo que sea) seguramente llevará a los alumnos a suponer que los números son simplemente un sistema aditivo y nada más. ¿Por qué no hacerlo desde el principio?

¿Por qué no decir que hay (al menos) dos cosas básicas que puedes hacer con los números: puedes sumarlos y multiplicarlos? (Estoy descontando la resta y la división aquí, ya que son simplemente los inversos a la suma y la multiplicación, y por lo tanto no son operaciones “básicas”. Esto no significa que enseñarles no sea difícil; lo es.) Sumar y multiplicar son solo cosas que usted hacer a números: vienen con el paquete. Los incluimos porque hay muchas cosas útiles que podemos hacer cuando podemos sumar y multiplicar números. Por ejemplo, agregar números te dice cuántas cosas (o partes de cosas) tienes cuando combinas colecciones. La multiplicación es útil si desea conocer el resultado de escalar cierta cantidad “.

Answer 2

No hay un estándar para el orden de los operandos en una expresión de multiplicación como 6 × 4.

Sin embargo, es importante que los estudiantes comprendan que, a diferencia de la suma, los operandos de multiplicación no son intercambiables. Uno es el multiplicando (el número que se replica) y el otro es el multiplicador (el número de copias del multiplicando). No solo representan diferentes cantidades, representan diferentes tipos de entidades. El multiplicando es una cantidad de cosas, mientras que el multiplicador es un conteo, que nos dice cuántos multiplicando hay.

Entonces, si la cantidad representada es 6 + 6 + 6 + 6, entonces 6 es inequívocamente el multiplicando y 4 es inequívocamente el multiplicador.

Hay implicaciones pedagógicas de elegir un orden sobre otro mientras se enseña la multiplicación. Por ejemplo, definir el primer operando como el multiplicando puede hacer que los niños comprendan más fácilmente los pares de coordenadas, ya que el orden sería el mismo (siempre y cuando el maestro use la geometría a continuación).

Por ejemplo, 6 × 4 se alinea con (6, 4):

(6,4) está aquí en coordenadas
****** |
****** | x4
****** |
****** |
6 6

El área de (0,0) a (6,4) es convenientemente 6 × 4 = 24.

Answer 3

Se puede definir de cualquier manera gracias a la propiedad de conmutación de la multiplicación. Dicho esto, tuve una gran maestra cuando era joven que no nos permitió decir cuatro veces seis. Ella nos exigió que dijéramos cuatro juegos de seis. Por esa razón, siempre veo 4 × 6 como 6 + 6 + 6 + 6.

Editar: Algunos han comentado que mi maestro estaba equivocado. Creo que mi maestro me hizo un gran servicio al darme un contexto inicial para comprender la multiplicación. Aprendí mis tablas de multiplicar con significado. Con el tiempo aprendí a actualizar mi comprensión a conceptos más complejos, como la multiplicación como un proceso de escalado. Como maestra, reconozco el valor de su método al contrastar con los muchos, muchos estudiantes de matemáticas con dificultades que ingresan a mi clase de matemáticas que no tienen ningún concepto de multiplicación. Para estos estudiantes, las tablas de tiempos son simplemente hechos aleatorios que una vez tuvieron que memorizar. Los compadezco y desearía que hubieran tenido a mi maestra.

Answer 4

Ambos son aceptables, y el artículo de noticias es un caso clásico de perder de vista el bosque por los árboles. Es bastante ridículo que les enseñen a los niños qué pensar y que, por arte de magia, esperen que sepan pensar.

Solo voy a alejarme y mirar árboles en su lugar. Bien por tus ojos, y todo eso.
Gracias Teddy 🙂

Answer 5

Las matemáticas son libertad, como dijo Cantor. No importa cuál sea su definición y cuál sea su teorema.

Lo interesante, de lo que vale la pena hablar extensamente, es por qué son lo mismo. Al principio no es obvio, y es bastante interesante.

Para mí, todo el atractivo de las matemáticas es que hay muchas maneras diferentes de conceptualizar todo, y tienes total libertad para cambiar de perspectiva en cualquier momento. El milagro de las matemáticas es que no importa si cambias tu perspectiva de un día a otro, o incluso de un momento a otro, porque todo está muy unido.

No puedo pensar en una mejor manera de arruinar las matemáticas para los jóvenes estudiantes que quitarle esta libertad y decirles que es la correcta. Eso es lo contrario de las matemáticas.

Answer 6

Miremos este problema desde un ángulo diferente:

Igual a equivalencia
Igual se define como “ser el mismo en cantidad, tamaño, grado o valor”. Mientras que equivalente se define como “igual en valor, cantidad, función o significado”. En el problema anterior, 4 x 6 es igual a 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4, pero no son necesariamente equivalentes. La equivalencia se relaciona con el significado, por lo que depende del significado de la multiplicación.

Ahora, veamos la definición de Wikipedia de la multiplicación para números enteros:

Entonces, 4 x 6 es 4 veces 6, es decir, 6 + 6 + 6 + 6

Ahora puede argumentar que la multiplicación es conmutativa, es decir, 4 x 6 = 6 x 4 = 6 + 6 + 6 + 6 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24.
Sí, son iguales pero no equivalentes . Por ejemplo, 3 paquetes de 5 plátanos son diferentes de 5 paquetes de 3 plátanos, aunque suman el mismo número de plátanos. Sus estructuras son diferentes.

Volviendo a la pregunta donde el maestro dio esas respuestas como incorrectas. Si el maestro ya ha enseñado la propiedad conmutativa de la multiplicación (la ley que dice axb = bxa), entonces esta es una buena sustitución para hacer.
Pero, si el maestro no ha cubierto la propiedad conmutativa, entonces podría ser imprudente dejar que un estudiante continúe con esta línea de pensamiento si no entiende completamente las razones. Como es más importante que nunca para los estudiantes comprender la diferencia entre igual como resultado y equivalencia en el significado desde una edad temprana porque es un concepto fundamental de informática.
En la programación, hay una distinción entre probar si dos cosas son iguales o equivalentes (también conocidas como idénticas).
Igual significa que tienen el mismo valor final, como 5 + 5 + 5 = 3 • 5 = 5 • 3 = 15. Equivalente significa que no solo son iguales, sino que también son del mismo tipo de datos. En otras palabras, significan lo mismo.

Fuente :
¿Por qué 5 x 3 = 5 + 5 + 5 marcado incorrecto?
Es una respuesta interesante de Brett Benny sobre esta pregunta. Acabo de copiarlo aquí.

Answer 7

Contestaré estrictamente lógicamente aquí: Sí. (Piensa en ello un segundo.)

Esto es lo bueno de las matemáticas: una respuesta que te daría una bofetada en la vida real (“Cariño, ¿te gusta más este vestido o este ?”) Es lógicamente consistente y también señala cuán tonta es la pregunta. Es divertido ser inteligente de vez en cuando 😉

Answer 8

Guau. Adivinando que el maestro probablemente no tiene un nivel superior de comprensión de las matemáticas, es comprensible que la forma en que la multiplicación generalmente se enseña sobre “tantos lotes de tal y tal” significa que cuando se confronta con [matemáticas] 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 [/ matemáticas] uno debería pensar “seis lotes de cuatro” es igual a “seis veces cuatro”, o “seis cuatros”.

Y sí, en algunos casos, los objetos matemáticos no conmutan * bajo la multiplicación como se define en ellos (los cuaterniones no; ¡las matrices en general no; muchas cosas no!) Y en esos casos el orden de la multiplicación importa: según la definición de conmutatividad. Pero todos los números hasta los números complejos viajan bajo la multiplicación como se define normalmente, por lo que [matemática] 4 \ veces 6 = 6 \ veces 4 [/ matemática] e incluso si se prefiere cualquiera de ellos por alguna razón (como imaginé anteriormente), tal una respuesta, donde el resultado es matemáticamente equivalente (a menos que se indique que se requiere una forma específica), debe considerarse como correcta, para que el niño no se vea sofocado por una arbitrariedad estúpida y rígida, y no mencionemos la simple injusticia.

No creo que el maestro en este caso tenga ninguna excusa real, por esas razones. Estoy del lado de la hermana que compartió la foto en primer lugar. Si se requería una forma específica de respuesta, haciendo referencia a una orden u otra, debería haberse indicado claramente en algún lugar.

* Si [math] a, b \ in X [/ math], un conjunto no vacío y la multiplicación [math] \ times [/ math] es una operación binaria definida en elementos de [math] X [/ math], la multiplicación en [matemáticas] X [/ matemáticas] es conmutativa si y solo si [matemáticas] a \ veces b = b \ veces a [/ matemáticas].

Answer 9

¡Cuando se trata de números enteros, no puedes pasar los axiomas de Peano! Giuseppe Peano (1858-1932) definió números, suma y multiplicación en términos de cero, [matemática] 0 [/ matemática], y la función sucesora, [matemática] S [/ matemática], que podemos considerar como ‘más 1 ‘, entonces [matemática] 1 [/ matemática] se define como [matemática] S (0) [/ matemática].

La suma se define recursivamente por:
[matemáticas] a + 0 = a [/ matemáticas]
[matemáticas] a + S (b) = S (a + b) [/ matemáticas]

La multiplicación se define recursivamente por:
[matemáticas] a \ veces 0 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] a \ veces S (b) = a + (a \ veces b) [/ matemáticas]

Entonces, por definición,
[matemáticas] 4 \ veces 6 = 4 + (4 \ veces 5) = 4 + (4 + (4 \ veces 4)) = \ cdots [/ matemáticas]
[matemáticas] = 4 + (4+ (4+ (4+ (4+ (4 + 0))))) [/ matemáticas]

Aplicar los axiomas de suma te llevará a
[matemáticas] 4 \ veces 6 = S (S (S (\ cdots S (0) \ cdots))) = 24 [/ matemáticas]

A partir de la axiomatisfacción de Peano, puede probar que la multiplicación es conmutativa, por lo que la respuesta a la pregunta, como otros han señalado, es discutible.

También puede modificar un poco los axiomas para obtener esencialmente el mismo sistema en el que la definición produciría [matemáticas] 6 + 6 + 6 + 6 [/ matemáticas], pero eso sería hacer trampa y, posiblemente, deshonrar al gran hombre.

Answer 10

En los términos que usan los matemáticos, la respuesta es “ninguno”.

Podemos definir la multiplicación de números naturales de for [math] a, b \ geq 0 [/ math]

[matemáticas]
a \ times b = \ begin {cases} (a -1) b + b & \ text {when} a, b> 0 \\
0 & \ text {when} a = 0 \ text {or} b = 0
\ end {casos}
[/matemáticas]

La conmutatividad de la multiplicación proviene de

1. La segunda cláusula de esa definición que muestra que [matemáticas] x0 = 0x = 0 [/ matemáticas] para todos los números naturales.
2. Esa suma es conmutativa

(No lo he probado aquí, pero esas dos cosas permiten la creación de una prueba por inducción matemática).

Hay otras formas de definir la multiplicación, pero realmente no hay una respuesta “correcta” a la pregunta como se hizo originalmente. Ninguno de los dos es cómo a los matemáticos les gusta definir la multiplicación.

Sin embargo, para enseñar aritmética básica, podría ser útil describir la multiplicación en los términos de la pregunta original. Pero entonces realmente es “bueno, de cualquier manera que funcione para usted”.

Answer 11

Es bueno debatir y hacer que los maestros de matemáticas no tengan en cuenta la belleza de las matemáticas y la definición de multiplicación.

En lugar de definir lo que 4 veces 6 podría significar, definitivamente es una mejor manera de enseñar operaciones matemáticas [1] de una manera matemática, de lo contrario no obtendrá una comprensión más profunda de algo.

Entonces, de acuerdo con algunas definiciones en álgebra [2] y usando el signo = en el significado de una relación [3] [4] … sí, tienes una relación. Entonces:

[matemáticas] 4 * 6 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 6 + 6 + 6 + 6 = 8 + 8 + 8 = 24 = 5 ^ 2-1 = 3 ^ 3-3 = 3 * 7 +3 [/ matemáticas]

Y así sucesivamente y así sucesivamente…

Entonces, en mi opinión, si comienzas a enseñar cosas como la definición de [matemáticas] 4 \ times 6 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 [/ matemáticas] más adelante, será más difícil enseñar a los alumnos y estudiantes y estudiantes universitarios sentido más amplio de las matemáticas.

Pero bueno, tienes que comenzar en algún lugar de las matemáticas que se llama axioma [5], que en realidad es un tipo de definición como la de algunas políticas educativas o las mentes de los profesores de matemáticas …

Notas al pie

[1] Operación (matemáticas) – Wikipedia

[2] Álgebra – Wikipedia

[3] Relación de congruencia – Wikipedia

[4] Relación binaria – Wikipedia

[5] Axioma – Wikipedia

Answer 12

Cuando estaba en segundo grado, mi maestro explicó que si tuviéramos 4 filas cada una con 6 LollyPops, entonces tendríamos 4 × 6 LollyPops. Pero al final del período nos dimos cuenta de que era lo mismo que seis 4. La multiplicación se enseña, en la escuela primaria, como adición repetida por al menos tres razones. Primero. es históricamente correcto hacerlo. Segundo, un maestro de aritmética de grado 2, lo creas o no, podría no tener un título en matemáticas. No, a pesar de que enseñan todo, no tienen títulos en todo. Finalmente, los maestros a menudo enseñan como se les enseñó. Cuando estaba en segundo grado, mis maestros habían ido a la escuela, antes del susto de New Math en América del Norte. Sin duda, les dijeron que la multiplicación era una suma repetida, por parte de sus maestros a quienes se les dijo que … Fui afortunado, que, con excelentes maestros y padres muy solidarios, pude hacer frente a la multiplicación de fracciones y decimales. En realidad, con un par de lecciones introductorias, la transición fue fácil y tuvo sentido. Sin embargo, si mi maestra de segundo grado nos hubiera dicho que

la multiplicación es una función * mapeando NxN a N tal que a * 0 = 0 y

a * S (b) = a + (a * b)

Habría tenido una infancia más saludable ya que dejaría de comer LollyPops.

Después de la secundaria, estaba listo para lidiar con la noticia de que la velocidad de la luz no era constante. Pero nos ocupamos de las cosas.

Answer 13

1. No hace un poco de diferencia.
2. Si insiste en hacer una distinción donde no la hay, siga adelante y haga una elección arbitraria, pero no se sorprenda si alguien más toma la decisión opuesta, o ninguna.
3. Estamos hablando de que los niños de segundo grado sean penalizados por decir uno en lugar de otro. No hay absolutamente ninguna excusa para esto.

Answer 14

Aunque las matemáticas no los ven de manera diferente, es el idioma inglés el que causa el problema.

La historia se remonta a mis días de infancia. En las escuelas primarias de la India, aprenderíamos tablas y leeríamos muy peculiarmente 3 x 5 = 15
como “tres cinco za quince”
¡Esa frase en realidad era ” tres cinco son quince” !

Entonces 3 x 5 = 15 en realidad es 5 + 5 + 5 (tres cinco)

Editar: Debería haber explicado la diferencia entre 3 x 5 y 5 x 3 … Aunque matemáticamente iguales, leemos 3 x 5 como tres cinco son (5 + 5 + 5) mientras leemos 5 x 3 como cinco tres son (3+ 3 + 3 + 3 + 3)
¡Note la diferencia en el idioma!

Answer 15

Cuando enseño matemáticas, desde cero, comienzo con un axioma:

Los matemáticos son flojos, y esto es BUENO.

De esto se deduce que obtener la respuesta incorrecta NO es una buena matemática porque ha perdido su tiempo;)

Otra cosa que sigue es que uno quiere poder usar su trabajo tan a menudo como sea posible para lograr cualquier objetivo que tenga, y esto incluye recreación y diversión.

El siguiente axioma es que, siempre que sea posible, defina las cosas para que lo que haya aprendido antes todavía funcione, incluso si el razonamiento ya no es aplicable.

Entonces, por ejemplo, anotamos el número de cosas por conteo, pero esto pronto se vuelve costoso a tiempo, así que inventamos contar los números 1, 2 …

Jugar con el conteo nos lleva a sumar y multiplicar, como una abreviatura de sumas sucesivas. Notamos que todo esto cuando se usan números de conteo son conmutativos y asociativos, etc. Deshacer sumar nos lleva a restar y deshacer la multiplicación (cuando sea posible) nos lleva a la división, pero estos no tienen todas las buenas propiedades de sumar.

Deshacer la multiplicación y la suma también nos lleva a nuevos números: fracciones y números negativos. Queremos, sin embargo, mantener las reglas de suma y multiplicación en la medida de lo posible sin cambios para estos nuevos números.

Me detendré aquí porque creo que el sabor se da arriba.

Entonces, a pesar de que 2 ^ pi no se escribe fácilmente como pi lotes de 2 multiplicados entre sí, se preservan las reglas para agregar etc. de poderes: la característica perezosa entra en juego.

Alfredo

Answer 16

[matemáticas] 6 \ veces 4 [/ matemáticas] y [matemáticas] 4 \ veces 6 [/ matemáticas] son ​​expresiones diferentes que denotan el mismo valor numérico. Realmente no puedo imaginar ningún escenario en el que me importe la diferencia.

Answer 17

Supongo que es así:

El maestro ha enseñado a los alumnos a sumar y les enseñará la multiplicación.
Para introducir la multiplicación, necesita establecer la regla de la misma. Entonces él / ella lo dice así: seis 4s sumados son 6 × 4 y viceversa. Luego les da tarea.

Sí, de acuerdo con la regla HER / HIS, seis 4s solo pueden ser 6 × 4, no 4 × 6, la regla comunicativa NO se ha introducido TODAVÍA. En este caso, 4 × 6 debe ser una respuesta incorrecta: ¿cómo puede violar la regla?

Este es solo el proceso de enseñanza: las cosas se introducen gradualmente, no todas a la vez. No hay nada que sorprender.

Answer 18

Para todas las personas que dicen “no hay diferencia”, cuando estudias sistemas formales y los aplicas a los fundamentos de las matemáticas a partir de, por ejemplo, ZFC y avanzas, probablemente encuentres “4 x 6” como significado “6 , cuatro veces “es decir, 6 + 6 + 6 + 6. Aunque generalmente no funciona tan simple como eso. La multiplicación se define de forma recursiva a partir de la suma como (n + 1) m: = nm + m cuando n> 0, 0 cuando n = 0. Por lo general, se deja como ejercicio para que el alumno demuestre que nxm = mxn, y tal ejercicio No es trivial. Ver, por ejemplo, “Teoría de conjuntos ingenuos” de Halmos para una elaboración elemental sobre el tema.

Answer 19

En EE. UU., Los maestros siguen los Estándares Estatales Básicos Comunes, donde está escrito que 4 por 6 es (4 grupos) x (6 objetos). Es como la mayoría de los maestros TIENEN QUE definirlo ahora.
En cuanto a la utilidad de esta definición … Mi objetivo principal es inculcar la idea de conmutación. Por lo tanto, inmediatamente requiero aplicar la forma más conveniente de cálculos.

Answer 20

Tampoco las definiciones. Ambos son en realidad teoremas de la aritmética, es decir, son técnicamente correctos y pueden probarse a partir de la siguiente definición de multiplicación en los números naturales (suponiendo que la suma ya se haya definido):

(1) Para todos los números naturales n tenemos [math] n \ times 0 = 0 [/ math] o, según su preferencia, [math] n \ times 1 = n [/ math]

(2) Para todos los números naturales n y m , tenemos [matemática] n \ veces (m + 1) = n \ veces m + n [/ matemática]

EDITAR: Pero eso es todo bastante técnico. De hecho, puede haber razones pedagógicas sólidas por las cuales un maestro, cuando presenta la multiplicación a los niños, puede preferir que sus alumnos digan que [matemáticas] 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 6 \ veces 4 [/ matemáticas] en lugar de [matemáticas] 4 \ veces 6 [/ matemáticas]. Darles a los niños demasiadas opciones puede confundirlos, especialmente cuando se introduce un nuevo tema. Una lección futura sería, sin duda, que [matemáticas] 6 \ veces 4 = 4 \ veces 6 [/ matemáticas]. Una idea a la vez. Yo digo, deja que el maestro decida.