¿Cuál es la distribución de probabilidad conjunta de [math] N [/ math] samples [math] \ {x_i \} [/ math] dibujado iid. de una distribución [matemática] P [/ matemática] dado que conocemos el valor [matemático] m = 1 / N \ sum_i x_i [/ ​​matemático]?

Answer 1

En esta respuesta, solo voy a usar una f genérica para las funciones de densidad (o funciones de probabilidad) sin denotar adecuadamente si es marginal, conjunta o condicional. Con suerte, será claro en su contexto. También supondré que sus variables aleatorias tienen tal representación (ya que no todas las variables aleatorias tienen una distribución lo suficientemente agradable como para escribir una función de densidad o probabilidad).

[matemáticas] f \ left (x_1, \ ldots, x_n | \ frac 1 n \ sum X_i = \ mu \ right) = \ frac {P \ left (\ frac 1 n \ sum X_i = \ mu | x_1, \ ldots , x_n \ right) f (x_1, \ ldots, x_n)} {P \ left (\ sum X_i = n \ mu \ right)} [/ math]

Como las muestras son iid podemos escribir:
[matemáticas] f \ left (x_1, \ ldots, x_n | \ frac 1 n \ sum X_i = \ mu \ right) = \ frac {P \ left (\ sum X_i = n \ mu | x_1, \ ldots, x_n \ right) \ prod_ {i = 1} ^ nf (x_i)} {P \ left (\ sum X_i = n \ mu \ right)} [/ math]

La probabilidad condicional en el numerador solicita la probabilidad de que la suma sea igual a un valor particular dado el valor de todas las variables aleatorias individuales. Obviamente, esto es cero (si los valores dados no suman a [math] n \ mu [/ math] o uno si suman a [math] n \ mu [/ math]. No sé cómo para escribir una función de indicador en el TeX de Quora, a partir de este momento, asumiremos que los valores dados de [math] x_1, x_2, \ ldots, x_n [/ math] tienen la propiedad de que [math] x_1 + x_2 + \ ldots + x_n = n \ mu [/ math] para que estemos trabajando en la parte distinta de cero de la densidad condicional.

[matemáticas] f \ left (x_1, \ ldots, x_n | \ frac 1 n \ sum X_i = \ mu \ right) = \ frac {\ prod_ {i = 1} ^ nf (x_i)} {P \ left (\ sum X_i = n \ mu \ right)} [/ math]

Finalmente, tenemos que encontrar el denominador que normaliza la distribución.

Dejar
[matemáticas] A = \ {x_1, x_2, \ ldots, x_n | \ sum x_i = n \ mu \} [/ math].

Entonces
[matemáticas] P \ left (\ sum X_i = n \ mu \ right) = \ int _ {\ {x_1, \ ldots, x_n \ in A \}} f (x_1, \ ldots, x_n) dx_1, dx_2, \ ldots , dx_n [/ math]

Nuevamente, usando el hecho de que las variables aleatorias son iid, podemos reducir la unión al producto de los marginales.
[matemáticas] P \ left (\ sum X_i = n \ mu \ right) = \ int_ {x_1, \ ldots, x_n \ in A} \ prod_ {i = 1} ^ nf (x_i) dx_i [/ ​​math]

Debido a que [math] A \ ne \ mathbb {R} ^ n [/ math] o cualquier otro espacio de producto agradable, el denominador no se puede simplificar a una agradable integral iterada de marginales. (Puede progresar escribiéndolo como una integral iterada de condicionales cada vez más desagradables).

Entonces terminas con una respuesta como:
[matemáticas] f \ left (x_1, \ ldots, x_n | \ frac 1 n \ sum X_i = \ mu \ right) = \ frac {\ prod_ {i = 1} ^ nf (x_i)} {P (\ sum X_i = n \ mu)} [/ matemáticas]

(Recuerde que esta respuesta realmente necesita una función de indicador en el numerador que hará que la respuesta sea distinta de cero SOLAMENTE cuando [math] x_i [/ ​​math] en el numerador satisfaga [math] \ sum x_i = n \ mu [/ math] .)

Esto es realmente una derivación complicada de un resultado simple y obvio.

Dice que la probabilidad condicional de observar una colección particular [math] x_i [/ ​​math] es solo proporcional al producto de cuán probable es que vea cada uno de los [math] x_i [/ ​​math]. Sin embargo, dado que no todas las combinaciones de [math] x_i [/ ​​math] producen la media muestral dada, restringimos nuestra atención solo a las [math] x_i [/ ​​math] que satisfacen [math] \ sum x_i = n \ mu [ /matemáticas]. Finalmente, dado que queremos una distribución adecuada, debemos normalizar por el valor correcto (que es la integral que podría ser muy difícil de encontrar en el denominador).

Answer 2

No sé totalmente lo que estás preguntando, veo mucha terminología, pero no estoy seguro de que sepas lo que estás diciendo.

Pero si todo lo que sé sobre una muestra es la media, entonces no. No sabe nada sobre la distribución de la que se extrajo la muestra, ni siquiera sabe la distribución de sus datos de muestra.

No sé qué significa su segunda pregunta, ¿sabe cuáles son esos términos? De todos modos, creo que la respuesta a esa pregunta también sería negativa.

Answer 3

Sea [math] p_X [/ math] la función de probabilidad de masa y [math] X_i [/ ​​math] s sea el iid extraído de la distribución [math] p_X [/ math]. Se nos da que el valor de la media muestral es [matemática] m [/ matemática]. Queremos encontrar la distribución conjunta condicional (pmf) de [math] X_i [/ ​​math] s dado que la media muestral es [math] m [/ math].

El pmf conjunto de [math] X_i [/ ​​math] s es

[matemáticas] \ displaystyle p_ {X_1, X_2, \ ldots, X_N} (x_1, x_2, \ ldots, x_N) = \ Pi_ {i = 1} ^ {N} p_X (x_i) [/ math]

Probabilidad de que el valor de la media muestral sea [matemática] m [/ matemática] es igual a

[matemáticas] \ sum _ {\ left \ {(x_1, x_2, \ ldots, x_N): \ frac {\ sum_ {i = 1} ^ N x_i} {N} = m \ right \}} \ Pi_ {i = 1} ^ {N} p_X (x_i) [/ matemáticas]

Supongamos que [math] q [/ math] denota el valor de la expresión anterior, es la probabilidad de que el valor de la media de la muestra sea [math] m [/ math].

Si [math] q> 0 [/ math], la distribución conjunta condicional (pmf) de [math] X_i [/ ​​math] s dado que la media muestral es [math] m [/ math] es

[matemáticas] \ begin {eqnarray *} \ displaystyle p _ {(X_1, X_2, \ ldots, X_N) | \ overline {X}} (x_1, x_2, \ ldots, x_N | m) = \ begin {cases} \ frac {\ Pi_ {i = 1} ^ {N} p_X (x_i)} {q} & (x_1, x_2, \ ldots, x_N) \ in \ left \ {(x_1, x_2, \ ldots, x_N): \ frac {\ sum_ {i = 1} ^ N x_i} {N} = m \ right \} \\ 0 & \ text {de lo contrario} \ end {cases} \ end {eqnarray *} [/ math]

Answer 4

Básicamente, NO PUEDE especificar una distribución de la información basada en la media muestral. Pero si el tamaño de la muestra N es muy grande, entonces podría considerar aplicar el Teorema del límite central y obtener una distribución normal asintótica. Pero si logras tener en tus manos solo la muestra, no hay forma.