¿Puede un problema tener dos ecuaciones similares que cada una describa por separado el problema por completo, donde una ecuación tiene menos variables que la otra?

Answer 1

Supongamos que la tercera ley de Newton:
[matemáticas] \ overline F = m \ frac {\ partial ^ 2 \ overline r} {\ partial t ^ 2} [/ math]
con [matemáticas] \ overline F [/ matemáticas] la fuerza (la línea significa vector), m la masa, [matemáticas] \ overline r [/ matemáticas] la posición y el tiempo t.
Esta ecuación es completamente equivalente a
[matemáticas] \ overline F = \ lambda \ cdot m \ frac {\ partial ^ 2 \ overline r} {\ partial t ^ 2} [/ math]
con [math] \ lambda [/ math] una variable adimensional. Esto agrega una variable a la ecuación, pero sigue siendo equivalente a la primera ecuación si [math] \ lambda = 1 [/ math].
También podrías reescribir la ecuación como
[matemáticas] \ overline F = \ frac {\ partial \ overline p} {\ partial t} [/ math]
con [matemática] \ overline p = m \ frac {\ partial \ overline r} {\ partial t} [/ math] el impulso.
donde ahora la masa m ya no está en la ecuación, pero la ecuación todavía describe exactamente el mismo problema. Entonces, para responder a su pregunta, sí, es posible.

Sin embargo, lo que sospecho que quería preguntar es si es posible reducir los grados de libertad de cualquier ecuación donde la respuesta sería no.

Answer 2

Como dijo Andrew, si tiene una ecuación con algunas variables que explican la variable Y por ejemplo, y otra ecuación con otras variables que explican la misma variable Y, debe obtener las formas reducidas. Esto significa que debe expresar todas las variables endógenas en términos de solo las exógenas. Luego, puede combinar las dos formas reducidas y contraer una ecuación para explicar lo mismo que las dos ecuaciones mostraban antes.
Pero, si x, y, z, a y b no tienen ninguna relación entre sí (por ejemplo, x = 3 * a + b), entonces solo tiene variables exógenas.

Las variables “correctas” para incluir se basan en la teoría o el trabajo empírico. Si la teoría admite la primera y la segunda ecuaciones, entonces seguramente pueden estar en lo cierto. Pero en palabras reales hay muchas cosas correlacionadas entre sí sin tener una relación real. Esto significa que una de sus ecuaciones o solo algunas de las variables explican una cantidad estadísticamente significativa de la variación de Y y son buenas para su modelo, pero esto no significa que sean causadas o causen la variable Y.

Answer 3

Parece lógicamente posible.
Por ejemplo
aX + bY + c = 0 y
aX + dY + eZ + f = 0 puede ser equivalente si
eZ = bY + c – dY – f.
[Podría obtener una apariencia más divergente con una sustitución similar de otros términos.]
El punto clave es si puede describir una o más de las variables o coeficientes en la forma reducida completamente mediante una ecuación basada en otras variables. En la vida real, puedes aproximar esto. En problemas construidos puede ser exactamente posible. Pero, por supuesto, la ecuación simplificada es muy preferida.