Resolveremos la ecuación dada, x² + y² – 12x – 4y = 0, identificando primero qué tipo de curva representa, luego convertiremos la ecuación dada a una forma informativa mucho más útil, luego generaremos varias soluciones (pares de orden, ( x, y)) que satisfacen (hacen realidad) la ecuación dada, y luego finalmente determinan en general el conjunto completo de soluciones (pares ordenados, (x, y)) de la ecuación dada para que la ecuación dada pueda ser graficada.
Primero, reconozca que la ecuación dada, x² + y² – 12x – 4y = 0, está en la forma general de la ecuación de un círculo , es decir, Ax² + Ay² + Dx + Ey + F = 0, donde A, D, E y F son enteros y A ≠ 0.
Ahora transformaremos (convertiremos) la ecuación dada, x² + y² – 12x – 4y = 0, de su forma general actual menos informativa y menos útil a la forma estándar más deseada de la ecuación de un círculo usando el método de ” completando el cuadrado “en sus términos xy en sus términos y de la siguiente manera:
x² + y² – 12x – 4y = 0 (dado)
- ¿Puede un problema tener dos ecuaciones similares que cada una describa por separado el problema por completo, donde una ecuación tiene menos variables que la otra?
- ¿Qué es negativo (10z más 9x) restar 8z?
- ¿Por qué [matemáticas] x = \ sqrt {4}, x = 2 [/ matemáticas] pero [matemáticas] x ^ 2 = 4, x = 2, -2 [/ matemáticas]?
- ¿Cuál es la diferencia entre las gráficas de las ecuaciones F = x + y y F = x + iy?
- ¿Cuáles son las aplicaciones de la teoría de números y el álgebra lineal en la programación?
Al recopilar y agrupar los términos xy los términos y juntos, obtenemos:
(x² – 12x) + (y² – 4y) = 0
“Completando el cuadrado” en cada agrupación cuadrática, tenemos:
(x² – 12x + 36) + (y²‒ 4y + 4) = 0 + 36 + 4
Factorizando en el lado izquierdo, finalmente tenemos:
(x‒ 6) ² + (y – 2) ² = 40 está en la forma estándar de la ecuación de a
círculo , es decir, (x ‒h) ² + (y – k) ² = r², con centro (h,
k) y radio r, donde, para este problema, h = 6,
k = 2 y radio r = √ (40) = 2√ (10).
En consecuencia, la ecuación general original dada, x² + y² – 12x – 4y = 0, se convierte en la ecuación (x – 6) ² + (y – 2) ² = 40 que esta en el forma estándar de la ecuación de un círculo cuyo centro está en el punto (6, 2) y cuyo radio es r = 2√ (10) unidades de longitud.
Ahora, la solución de la ecuación dada x² + y² – 12x – 4y = 0 es el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) que satisfacen (hacen realidad) la ecuación dada; sin embargo, hay un número INFINITO de soluciones (pares ordenados) para la ecuación dada, y estas soluciones (pares ordenados) son las coordenadas (x, y) del número infinito de puntos P en el gráfico (círculo) de la ecuación dada.
Para demostrar, generemos varias soluciones (pares ordenados, (x, y)) a la ecuación dada :
Se pueden determinar varias soluciones (pares ordenados) al encontrar las intersecciones con el eje x y las intersecciones con el eje y de la gráfica (círculo) de la ecuación dada cuando y = 0 y x = 0, respectivamente, y así encontrar los puntos donde el círculo de la ecuación dada intersecta el eje x y el eje y, respectivamente:
X – intercepta (deje y = 0 y resuelva para x):
(x – 6) ² + (y – 2) ² = 40
(x – 6) ² + (0 – 2) ² = 40
(x – 6) ² + 4 = 40
(x – 6) ² + 4 ‒4 = 40 – 4
(x – 6) ² = 36
√ (x ‒6) ² = ± √ (36)
x – 6 = ± 6
x = 6 ± 6
Por lo tanto, x = 6 ‒6 = 0 yx = 6 + 6 = 12 son las intersecciones en x del círculo de la ecuación dada; por lo tanto, los dos puntos en el círculo de la ecuación dada donde cruza el eje x son (0, 0) y (12, 0) que también son dos soluciones de la ecuación dada.
Y – intercepta (sea x = 0 y resuelva para y):
(x – 6) ² + (y – 2) ² = 40
(0 – 6) ² + (y – 2) ² = 40
(- 6) ² + (y – 2) ² = 40
36 + (y – 2) ² = 40
36‒ 36 + (y – 2) ² = 40 ‒36
(y – 2) ² = 4
√ (y ‒2) ² = ± √4
y ‒2 = ± 2
y = 2 ± 2
Por lo tanto, y = 2 ‒2 = 0 e y = 2 + 2 = 4 son las intersecciones en y del círculo de la ecuación dada; por lo tanto, los dos puntos en el círculo de la ecuación dada donde cruza el eje y son (0, 0) y (0, 4) que también son dos soluciones más de la ecuación dada.
Ahora, generando algunas soluciones adicionales (pares ordenados, (x, y)) de la ecuación dada:
Dado que el centro del círculo es (6, 2) y el radio es r = 2√10, el rango de valores de x que podemos considerar al generar soluciones adicionales (pares ordenados) es 6 ‒2√10 ≤ x ≤ 6 + 2√10. Por ejemplo:
Para x = 4 Para x = 7
y = 2 ± √ [40 – (x ‒6) ²] y = 2 ± √ [40 – (x ‒6) ²]
= 2 ± √ {[40 – [4 – 6] ²} = 2 ± √ {[40 – [7 – 6] ²}
= 2 ± √ [40 – (‒2) ²] = 2 ± √ [40 – (1) ²]
= 2 ± √ (40 – 4) = 2 ± √ (40 – 1)
= 2 ± √ (36) = 2 ± √ (39)
= 2 ± 6 = 2 ‒ √ (39) = – 4.245 (redondeado a 3
= 2 + 6 = 8 decimales)
= 2 – 6 = ‒4 = 2 + √ (39) = 8.245 (redondeado a 3
lugares decimales)
Entonces, un total de cuatro soluciones más: (4, 8) y (4, ‒4) para x = 4, y
(7, ‒4.245) y (7, 8.245) para x = 7.
Aquí hay una tabla que indica varias soluciones de la ecuación original dada, x² + y² – 12x – 4y = 0, para x = 0 a x = 12.
x ⃒ y = 2 ± √ [40 – (x ‒6) ²] ⃒ Soluciones (x, y)
0 ⃒ 0, 4 ⃒ (0, 0) y (0, 4)
1 ⃒ ‒1.873, 5.873 ⃒ (1, ‒1.873) y (1, 5.873)
2 ⃒ ‒2.899, 6.899 ⃒ (2, ‒2.899) y (2, 6.899)
3 ⃒ ‒3.568, 7.568 ⃒ (3, ‒3.568) y (3, 7.568)
4 ⃒ ‒4, 8 ⃒ (‒4, 4) y (4, 8)
5 ⃒ ‒4.245, 8.245 ⃒ (5, ‒4.245) y (5, 8.245)
6 ⃒ ‒4.325, 8.325 ⃒ (6, ‒4.325) y (6, 8.325)
7 ⃒ ‒4.245, 8.245 ⃒ (7, ‒4.245) y (7, 8.245)
8 ⃒ – 4, 8 ⃒ (8, ‒4) y (8, 8)
9 ⃒ ‒3.568, 7.568 ⃒ (9, ‒3.568) y (9, 7.568)
10 ⃒ ‒2.899, 6.899 ⃒ (10, ‒2.899) y (10, 6.899)
11 ⃒ ‒1.873, 5.873 ⃒ (11, ‒1.873) y (11, 5.873)
12 ⃒ 0, 4 ⃒ (12, 0) y (12,4)
NOTA : Puede generar tantas soluciones (pares ordenados) de la ecuación dada como desee, pero, recuerde, ¡hay un número infinito de ellas!
En términos generales, el conjunto de soluciones de la ecuación dada es :
{(x, y) ⃒ y = 2 ± √ [40 – (x ‒6) ²] y 6 – 2√10 ≤ x ≤ 6 + 2√10} .
RESUMEN:
La ecuación original dada, x² + y² – 12x – 4y = 0, en la forma general de la ecuación, es un círculo . Cuando se convierte a la forma estándar de la ecuación de un círculo “completando el cuadrado”, la ecuación dada se convierte en (x – 6) ² + (y – 2) ² = 40 que representa algebraicamente un círculo cuyo centro está en el punto ( 6, 2) y cuyo radio es longitud r = 2√ (10) unidades. Esta forma estándar se usó para generar varias soluciones (pares ordenados, (x, y)) de la ecuación dada. En un sistema de coordenadas rectangular (cartesiano), si traza los puntos asociados con los pares ordenados generados anteriormente, más cualquier otro adicional según sea necesario o deseado, obtendrá la gráfica de la ecuación dada: un círculo cuyo centro está en el punto ( 6, 2) y cuyo radio es de 2√10 unidades de longitud.
Comprobación de algunas soluciones en la ecuación original :
(12, 0) (0, 4)
x² + y² – 12x – 4y = 0 x² + y² – 12x – 4y = 0
(12) ² + (0) ² – 12 (12) – 4 (0) = 0 (0) ² + (4) ² – 12 (0) – 4 (4) = 0
144 + 0 – 144 – 0 = 0 0 + 16 ‒0 – 16 = 0
144 – 144 + 0 ‒0 = 1 16 ‒16 + 0 – 0 = 0
0 = 0 0 = 0
(4, 8)
x² + y² – 12x – 4y = 0
(4) ² + (8) ² – 12 (4) – 4 (8) = 0
16 + 64-48-32 = 0
80 – 80 = 0
0 = 0
