EDITAR: Ahora que veo la respuesta, creo que el argumento a continuación probablemente no sea el mejor; un combinatorio algebraico probablemente podría dar una explicación más esclarecedora. Para empezar, no sabía la respuesta, así que simplemente escribí lo que se me ocurrió hasta que llegué a una solución.
La respuesta original sigue:
Bueno, podemos reescribirlo para eliminar la condición i <j, que generalmente es una buena idea:
[matemáticas] \ sum_ {i <j} \ bigg [M_ {ii} M_ {jj} – M_ {ij} M_ {ji} \ bigg] [/ matemáticas] [matemáticas] = \ frac {1} {2} \ sum_ {i, j} \ bigg [M_ {ii} M_ {jj} – M_ {ij} M_ {ji} \ bigg] [/ math]
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(Para ver la igualdad, tenga en cuenta que los términos en el lado derecho desaparecen cuando i = j .) Ahora
[matemáticas] \ sum_ {i, j} M_ {ij} M_ {ji} = \ operatorname {tr} (M ^ 2) [/ math]
y
[matemáticas] \ sum_ {i, j} M_ {ii} M_ {jj} = \ sum_i M_ {ii} \ sum_j M_ {jj} = \ operatorname {tr} (M) ^ 2 [/ math]
Entonces podríamos escribir esto como
[math] \ frac {1} {2} \ operatorname {tr} (M) ^ 2 – \ frac {1} {2} \ operatorname {tr} (M ^ 2). [/ math],
Ahora, si los valores propios de [matemáticas] M [/ matemáticas] son [matemáticas] \ lambda_1, \ ldots, \ lambda_n [/ matemáticas], entonces los valores propios de [matemáticas] M ^ 2 [/ matemáticas] son [matemáticas] \ lambda_1 ^ 2, \ ldots, \ lambda_n ^ 2 [/ math], y tenemos
[math] \ operatorname {tr} (M) = \ lambda_1 + \ cdots + \ lambda_m [/ math]
Entonces se sigue que
[matemáticas] \ frac {1} {2} \ bigg [\ operatorname {tr} (M) ^ 2 – \ operatorname {tr} (M ^ 2) \ bigg] [/ math] [math] = \ frac {1 } {2} \ bigg [\ left (\ sum_ {i = 1} ^ n \ lambda_i \ right) ^ 2 – \ sum_ {i = 1} ^ n \ lambda_i ^ 2 \ bigg] [/ math]
[matemáticas] = \ frac {1} {2} \ bigg [\ sum_ {i = 1} ^ n \ sum_ {j = 1} ^ n \ lambda_i \ lambda_j – \ sum_ {i = 1} ^ n \ lambda_i ^ 2 \ bigg] [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {1} {2} \ sum_ {i \ neq j} \ lambda_i \ lambda_j = \ sum_ {i <j} \ lambda_i \ lambda_j [/ math]
Este es solo el segundo polinomio simétrico elemental en los valores propios de [math] M [/ math]; como tal, también podemos considerarlo como el coeficiente [matemático] t ^ {n-2} [/ matemático] del polinomio característico de [matemático] M [/ matemático], ya que los valores propios de [matemático] M [/ matemáticas] son las raíces del polinomio característico y los coeficientes de un polinomio monico son las funciones simétricas elementales de sus raíces. Entonces, puede pensar en esto como el primer paso de interpolación entre la traza de [matemáticas] M [/ matemáticas] (que es el coeficiente [matemáticas] t ^ {n-1} [/ matemáticas]) y el determinante de [matemáticas] M [/ math] (que es el coeficiente constante).