Para el polinomio cuadrático, [matemática] {ax ^ 2 + bx + c} [/ matemática], si todos los coeficientes son reales, ambas raíces son reales o ambas son conjugadas imaginarias y complejas entre sí, es decir, serán de la forma [matemáticas] {x + iy} [/ matemáticas] y [matemáticas] {x-iy} [/ matemáticas]
Suma de las raíces = [matemáticas] {-b / a} [/ matemáticas]
Producto de las raíces = [matemáticas] {c / a} [/ matemáticas]
Si ambas raíces son reales y positivas, entonces claramente [matemáticas] {- b / a} [/ matemáticas] y [matemáticas] {c / a} [/ matemáticas] tienen que ser positivas. Además, si las raíces son imaginarias con partes reales positivas, la suma será positiva al igual que el producto. Esto significa que [matemática] {a} [/ matemática], [matemática] {- b} [/ matemática] y [matemática] {c} [/ matemática] deben ser del mismo signo.
Si ambas raíces son reales y negativas, la suma de las raíces [matemáticas] {- b / a} [/ matemáticas] será negativa mientras que el producto [matemáticas] {c / a} [/ matemáticas] será positivo. Si las raíces son imaginarias con partes reales negativas, entonces también la suma será negativa mientras que el producto será positivo. Por lo tanto, en este caso, [math] {a} [/ math] y [math] {c} [/ math] deben ser del mismo signo, mientras que [math] {- b} [/ math] debe ser de un signo diferente .
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Si una raíz es positiva y otra negativa, el producto [math] {c / a} [/ math] siempre será negativo. Recuerde que las raíces no pueden ser imaginarias en este caso ya que el producto de números imaginarios conjugados complejos siempre es positivo ([matemática] {(x + iy) * (x-iy) = x ^ 2 + y ^ 2> 0} [/ matemática ]. La suma puede ser tanto positiva como negativa dependiendo de si la raíz negativa es mayor en magnitud o la positiva. Eso requiere que [matemática] {c} [/ matemática] y [matemática] {a} [/ matemática] sea del signo opuesto mientras que [math] {- b} [/ math] puede tener el mismo signo o diferente de [math] {a} [/ math].
En breve :
- Si [matemática] {a} [/ matemática], [matemática] {- b} [/ matemática] y [matemática] {c} [/ matemática] son del mismo signo, entonces las raíces son reales y positivas o imaginarias raíces con partes reales positivas.
- Si [math] {a} [/ math] y [math] {c} [/ math] son del mismo signo mientras que [math] {- b} [/ math] es de un signo diferente, entonces las raíces son reales y negativos o son imaginarios con partes reales negativas.
- Si [math] {a} [/ math] y [math] {c} [/ math] tienen un signo diferente y [math] {- b} [/ math] tiene el mismo signo que [math] {a } [/ math], entonces ambas raíces son reales con una positiva y otra negativa donde la magnitud de la raíz positiva es mayor que la negativa.
- Si [matemática] {a} [/ matemática] y [matemática] {c} [/ matemática] son de signos opuestos y [matemática] {- b} [/ matemática] es del signo opuesto de [matemática] {a} [/ math] también, entonces ambas raíces son nuevamente reales con una positiva y otra negativa, pero esta vez la magnitud de la raíz negativa es mayor que la magnitud de la raíz positiva.