Cómo pasar de [matemáticas] 5x ^ 2-8xy + 3y ^ 2 [/ matemáticas] a [matemáticas] (xy) (5x-3y) [/ matemáticas]

Answer 1

Hola, gracias por el A2A. Creo que el usuario de Quora dio una gran respuesta a este problema. Este tipo de problemas a veces puede ser difícil. Se requiere un poco de práctica y cierta intuición para poder ver fácilmente cómo factorizar estas expresiones. Tratar de relacionar el término medio con el primero y el último es definitivamente el camino a seguir. Una vez que vea que 5 + 3 = 8, queda más claro cómo hacerlo (si tiene experiencia). Basado en ver esto, adivinaría (x-3y) (5x-y) o (xy) (5x-3y). Ahora solo tengo que verificar para ver cuál es el correcto. Puede intentar encontrar formas más formales de hacerlo (como mostraré a continuación), pero una vez que se acostumbre a este tipo de problemas, se vuelve mucho más fácil probar el método de adivinar y verificar.

Si quiere llegar a ser realmente extremo, puede resolver generalmente cualquier ecuación de la forma [math] ax ^ 2 + bxy + cy ^ 2 [/ math]. Suponga que puede factorizar la ecuación en la forma [matemática] a (x- \ alpha y) (x- \ beta y) [/ matemática]. Expanda este producto y compare los términos con su ecuación original. Verá que [math] \ alpha \ beta = c / a [/ math] y [math] \ alpha + \ beta = -b / a [/ math]. Usando la eliminación podemos obtener la ecuación [matemática] z ^ 2 + b / a z + c / a = 0 [/ matemática] que puede resolverse usando la fórmula cuadrática. Las dos raíces son [matemáticas] \ alpha [/ matemáticas] y [matemáticas] \ beta [/ matemáticas].

Answer 2

Para tal pregunta, el mejor método es usar el Teorema del resto polinómico. Este método debería ser aplicable a la mayoría de las ecuaciones polinómicas cuadradas.

f (x) = 5 (x ^ 2) -8xy + 3 (y ^ 2)

Como x es una variable cambiable, puede sustituir x con y.
f (y) = 5 (y ^ 2) -8 (y ^ 2) +3 (y ^ 2) = 0

A partir de ahí, sabes que uno de los factores es (xy).

Para la siguiente parte, hay dos métodos comunes para encontrar el otro factor:
1. División larga
Divida 5 (x ^ 2) -8xy + 3 (y ^ 2) por (xy) y obtendrá (5x-3y), que es el otro factor.
Por lo tanto,
5 (x ^ 2) -8xy + 3 (y ^ 2) = (xy) (5x-3y)

2. Comparación de coeficientes
5 (x ^ 2) -8xy + 3 (y ^ 2) = (xy) (ax + by)
Los coeficientes del factor que aún no has encontrado han sido reemplazados por el álgebra a y b.

Cuando comparas los coeficientes de …
(x ^ 2): 5 = a,
(y ^ 2): 3 = -b, lo que implica que b = -3

Entonces, cuando sustituye los valores de a y b, también obtiene
5 (x ^ 2) -8xy + 3 (y ^ 2) = (xy) (5x-3y)

Espero que esto haya ayudado 🙂

Answer 3

Esta es mi estrategia general para resolver este tipo de preguntas: descubrí todos los factores del coeficiente del primer y último término. En este caso, los dos términos son 5 y 3. Dado que 5 = 1 * 5 o (-1) * (- 5) y 3 = 1 * 3 o (-1) * (- 3), todas las divisiones posibles son:
1. (1x + 1y) (5x + 3y)
2. (1x + 3y) (5x + 1y)
3. (1x – 1y) (5x – 3y)
4. (1x – 3y) (5x – 1y)
Por supuesto, no necesita escribirlos todos. Más bien, los estás haciendo en tu cabeza. Necesita obtener rápidamente los coeficientes para el término medio, que es simplemente una suma de dos múltiplos:
1. 1 * 5 + 1 * 3 = 8, no correcto
2. 1 * 1 + 3 * 5 = 16, no correcto
3. 1 * (- 3) + (-1) * 5 = -8, correcto. El trabajo esta terminado.

Para reducir parte del trabajo innecesario, puede descartar inteligentemente las dos primeras divisiones sin hacer los cálculos, porque todos los coeficientes son positivos, entonces el coeficiente del término medio debe ser positivo y no puede ser -8, por lo que se descartan.

¿Qué pasa si un término tiene muchos factores, digamos 16x ^ 2 + 10xy – 9y ^ 2
¿qué debo hacer?
Primero, 16 tiene las siguientes divisiones:
1 * 16, 2 * 8, 4 * 4
y -9 tiene las siguientes divisiones:
-1 * 9, -3 * 3, 1 * (- 9), 3 * (- 3)
La estrategia para encontrar rápidamente un par de divisiones de modo que obtenga un 10, y debería poder deshacerse de los pares obviamente incorrectos. Por ejemplo, si estamos probando 1 * (- 9) para las divisiones y, entonces ni 2 * 8 ni 4 * 4 necesitan ser probados en absoluto. ¿Por qué? Debido a que el absoluto del coeficiente negativo, -9, es mayor que la mayor de las dos divisiones positivas de x, el resultado será negativo y, por lo tanto, no puede ser 10. Después de intentar algunos, debería poder obtener el correcto uno:
(8x + 9y) (2x-1y)

Answer 4

Una técnica muy poderosa para factorizar trinomios es el llamado “método AC”. Se llama así porque comenzamos considerando el producto [math] a \ cdot c, [/ math] donde nuestro trinomio tiene la forma [math] ax ^ 2 + bx + c. [/ Math]

En este caso, [math] a \ cdot c = 15y ^ 2. [/ Math] Ahora, buscamos factores de [math] 15y ^ 2 [/ math] que suman el coeficiente ” b “, [math] -8y [/ matemáticas]. Claramente, ambos factores (ignorando y ) deben ser negativos: si solo uno fuera negativo, se multiplicarían para ser negativos, y si ambos fueran positivos, su suma sería positiva.

Posibles pares:
[matemáticas] -y, \; -15 años [/ matemáticas]
[matemáticas] -3y, \; -5y [/ matemáticas]
Oh, puedo parar allí: [matemáticas] -3y + -5y = -8y. [/ Matemáticas]

Ahora, reescribo el trinomio original subdividiendo el coeficiente medio usando el par que acabamos de encontrar:

[matemáticas] 5x ^ 2 – 8xy + 3y ^ 2 = 5x ^ 2 + (-3y + -5y) x + 3y ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ qquad \ qquad = 5x ^ 2 -3xy – 5xy + 3y ^ 2 [/ math]

Finalmente, usamos Factoring by Grouping para finalizar el trabajo:

[matemática] 5x ^ 2 -3xy – 5xy + 3y ^ 2 = x (5x – 3y) – y (5x – 3y) [/ matemática]
[matemáticas] \ displaystyle \ qquad \ qquad = (xy) (5x – 3y). [/ matemáticas]

¡Uf!

Sé que parece largo, pero con la práctica, este método lo ayudará a factorizar cualquier polinomio que tenga una forma cuadrática y factores sobre [math] \ mathbb {Q}. [/ Math]

Answer 5

La forma más fácil es suponer
[matemática] 5x ^ 2-8xy + 3y ^ 2 = (ax + by) (cx + dy) [/ matemática]
Ahora:
[matemática] (ax + by) (cx + dy) = acx ^ 2 + (ad + bc) xy + bdy ^ 2 [/ matemática]
Entonces tienes:
[matemáticas] ac = 5 [/ matemáticas]
[matemáticas] ad + bc = -8 [/ matemáticas]
[matemáticas] bd = 3 [/ matemáticas]
Bueno, tienes 3 ecuaciones en 4 incógnitas, así que hay muchas soluciones, así que toma:
[matemáticas] a = 1 [/ matemáticas]
Entonces:
[matemáticas] c = 5 [/ matemáticas]
Entonces:
[matemáticas] d + 5b = -8 [/ matemáticas]
[matemáticas] bd = 3 [/ matemáticas]
Esto tiene una solución única.

Answer 6

[matemáticas] 5x ^ 2 – 8xy + 3y ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3x ^ 2 – 6xy + 3y ^ 2 + 2x ^ 2 – 2xy = 3 (x ^ 2 – 2xy + y ^ 2) + 2x (x – y) [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 (xy) ^ 2 + 2x (x – y) = (xy) (3 (xy) + 2x) [/ matemáticas]

[matemáticas] (xy) (5x -3y) [/ matemáticas]

2 vías

[matemáticas] 5x ^ 2 – 8xy + 3y ^ 2 = 4x ^ 2 – 8xy + 4y ^ 2 + x ^ 2 – y ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] (2x – 2y) ^ 2 + (xy) (x + y) = 2 ^ 2 (xy) ^ 2 + (xy) (x + y) [/ matemáticas]

[matemáticas] (xy) (4x – 4y + x + y) = (xy) (5x – 3y) [/ matemáticas]

1.way

Esta es la explicación paso a paso. En primer lugar, escribiría [math] 5x ^ 2 – 8xy + 3y ^ 2 [/ math] un poco diferente, [math] 3x ^ 2 – 6xy + 3y ^ 2 + 2x ^ 2 – 2xy. [/ math] Entonces factorizaría el número [math] 3 [/ math] en los primeros tres términos y factorizaría [math] 2x [/ math] en los últimos 2 términos, así: [math] 3 (x ^ 2 – 2xy + y ^ 2) + 2x (x – y). [/ math] Ahora sabes que la expresión en el primer paréntesis es en realidad [math] (xy) ^ 2 [/ math] así que factorizas [math] (xy) [/ math] de la primera y segunda parte de la ecuación. Y obtienes [matemáticas] 3 (xy) ^ 2 + 2x (x – y) = (xy) (3 (xy) + 2x). [/ Matemáticas] Y eso es en realidad [matemáticas] (xy) (5x -3y ) [/matemáticas].

2 vías

Primero lo reescribe de manera diferente, luego sabes que los primeros tres términos son [matemática] (2x – 2y) ^ 2 [/ matemática], y los dos últimos son [matemática] (xy) (x + y) [/ matemática]. Factoriza 2 desde el primer término y luego factoriza [math] (xy) [/ math] desde el primer y segundo término.

Answer 7

Un método que aprendí para resolver ecuaciones cuadráticas que también funcionará para esta ecuación.

Multiplica el primer y el último coeficiente: 5 * 3 = 15

Encuentre dos factores de ese producto que se sumen al coeficiente medio. En este caso, es bastante obvio que es -3 y -5.

Divida el término medio usando estos 2 números: 5 × 2 – 3xy – 5xy + 3y2 (en realidad puede hacerlo de cualquier manera 5 × 2 – 5xy – 3xy + 3y2 también funcionará)

Ahora factorice todos los factores comunes de los dos primeros términos y los segundos dos términos (si lo hizo bien, lo que está dentro de los paréntesis debe coincidir): x (5x – 3y) –y (5x – 3y)

La reagrupación le da la respuesta deseada: (x – y) (5x – 3y)

Answer 8

Puedes usar el hecho de que
[matemáticas] ax ^ 2 + bx + c = a (x-x_1) (x-x_2) [/ matemáticas],
en el que [matemáticas] x_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] x_2 [/ matemáticas] son ​​las raíces.

Puede decir que hay dos variables, pero puede tratar una de ellas como un parámetro. Si elige [matemática] y [/ matemática] como parámetro, entonces [matemática] \ Delta = (- 8y) ^ 2-4 \ cdot5 \ cdot3y ^ 2 = 4y ^ 2 [/ matemática], y las raíces son [math] \ frac {- (- 8xy) \ pm (2y)} {2 \ cdot 5} = y [/ math] y [math] 3y / 5 [/ math]. Entonces
[matemática] 5x ^ 2-8xy + 3y ^ 2 = 5 (xy) (x-3y / 5) = (xy) (5x-3y) [/ matemática].

Answer 9

En este caso particular, debido a que la expresión es homogénea y sus coeficientes se suman a 0, puede concluir fácilmente que [math] xy [/ math] es un factor y listo. Pero en realidad tampoco es demasiado difícil hacerlo. Solo factoriza [matemáticas] y ^ 2 [/ matemáticas]. Entonces tienes [matemáticas] y ^ 2 \ cdot (5 (x / y) ^ 2 – 8 (x / y) + 3) [/ matemáticas]. Entonces, queda una expresión cuadrática en una variable, [matemática] x / y [/ matemática], que puede factorizarse usando la buena fórmula cuadrática anterior.

Answer 10

Dividir (-8xy) a (-5xy – 3xy) que es lo mismo que (-8xy)
5x ^ 2 – 5xy – 3xy + 3y ^ 2
Entonces tomas factores comunes.
5x (xy) – 3y (xy)
(5x-3y) (xy)

Answer 11

¿Cómo pasar de 5x ^ 2–8xy + 3y ^ 2 a (xy) (5x-3y)?

A partir de 5x ^ 2–8xy + 3y ^ 2, tome los coeficientes de x ^ 2 e y ^ 2 y multiplíquelos para obtener 5 * 3 = 15.

Luego encuentre los factores de 15 que cuando se restan o suman nos dan 8.

Los factores de 15 son 1 y 15 o -3 y -5.

15-1 = 14, entonces no es correcto.

-3-5 = -8, muy aceptable. Luego escribe la ecuación como

5x ^ 2 – 5xy – 3xy + 3y ^ 2.

Vuelva a escribirlo como (5x ^ 2 – 5xy) – (3xy – 3y ^ 2), luego saque factores comunes, como

5x (xy) -3y (xy). Combina los términos similares como

(xy) (5x-3y), y tienes la respuesta.

Answer 12

Una forma de hacerlo es buscar ceros en la fórmula original. Podemos usar la ecuación cuadrática para encontrar que los ceros para [matemáticas] x [/ matemáticas] están en [matemáticas] y [/ matemáticas] y [matemáticas] 3y / 5 [/ matemáticas]. Entonces tenemos [matemática] x = y [/ matemática] y [matemática] x = 3y / 5 [/ matemática], lo que nos da factores de [matemática] xy = 0 [/ matemática] y [matemática] 5x-3y = 0 [/matemáticas]. Entonces sabemos que tiene la forma [matemática] C (xy) (5x-3y) [/ matemática] para algún valor [matemática] C [/ matemática]. Es bastante fácil ver [matemáticas] C = 1 [/ matemáticas] desde aquí.

Answer 13

Dado que 5 y 3 son primos, si los primeros factores polinomiales tienen que ser iguales a uno de [matemáticas] (5x-3y) (xy), (5x-y) (x-3y), (5x + 3y) ( x + y) [/ math] o [math] (5x + 3y) (x + y) [/ math] (¿por qué? Entonces, cuando se realiza la multiplicación, los términos cuadrados tienen los coeficientes correctos). Dado que el término medio tiene un coeficiente negativo, se descartan las dos posibilidades finales, y al verificar simplemente la opción que da el término medio correcto es la que usted enumera.

Answer 14

Divida la expresión por y²: –

5 x² / y² -8x / y + 3 = 0

Deje x / y = t

5t²-8t + 3 = 0

=> (t-1) (5t-3)

=> (xy) (5x-3y)

Avíseme si no lo entiendo, le responderé de manera más detallada en ese caso.

Answer 15

Esto no es muy popular, pero si crees que conoces uno de los factores, puedes hacer el algoritmo de división larga.

[matemáticas] \ frac {5x ^ {2} -8xy + 3y ^ {2}} {xy} [/ matemáticas]

Sabes que necesitarás multiplicar x por 5x, por lo que multiplicamos 5x (xy) para obtener [math] 5x ^ {2} – 5xy [/ math]. Restando esto de nuestro polinomio grande, obtenemos [math] -3xy + 3y ^ 2 [/ math]. Está bastante claro que tendremos que multiplicar (xy) por -3y para obtener [matemáticas] 3y ^ {2} [/ matemáticas] Esto nos da [matemáticas] -3xy + 3y ^ {2} [/ matemáticas]
Restar esto no nos da ningún resto. Entonces, porque [matemáticas] \ frac {5x ^ {2} -8xy + 3y ^ {2}} {xy} = 5x-3y [/ matemáticas] podemos concluir [matemáticas] 5x ^ {2} -8xy + 3y ^ {2} = (xy) (5x-3y) [/ matemáticas]

Answer 16

5x ^ 2 – 8xy + 3 y ^ 2
5x ^ 2 – 5xy – 3xy + 3 y ^ 2
5x (x – y) -3y (x – y)
(x – y) (5x – 3y)

Sencillo.

Answer 17

Sencillo.

Reescribe la ecuación como

5x ^ 2 -5xy -3xy + 3y ^ 2

Toma factores comunes

5x (xy) -3y (xy)

Repetir

(Xy) (5x-3y)