Cómo resolver este conjunto de ecuaciones diferenciales: [matemática] \ frac {dx} {dt} = 5x + y, \ frac {dy} {dt} = y – 4x [/ matemática]

Este es un ODE de sistema lineal de primer orden con coeficientes constantes. Hay formas estándar de resolver este tipo de sistemas ODE aprovechando los cálculos de matriz sin involucrar explícitamente la integración. Pero para algunos casos simples como este, podemos resolver directamente utilizando una técnica que se describe a continuación:
Reescribimos el sistema usando la notación [math] x ‘= \ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}, y’ = \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t} [/ matemáticas]
[matemáticas] x ‘= 5x + y \ quad (1) [/ matemáticas]
[matemáticas] y ‘= y-4x \ quad (2) [/ matemáticas]
De 1):
[matemáticas] y = x’-5x [/ matemáticas]
[math] \ Rightarrow y ‘= x’ ‘- 5x’ \ quad (3) [/ math]
Inserte (3) en (2):
[matemáticas] x ” – 5x ‘= x’-5x-4x [/ matemáticas]
Reorganización, tenemos:
[matemáticas] x ” – 6x ‘+ 9x = 0 [/ matemáticas]
Este es un ODE de segundo orden con coeficientes constantes que está listo para resolver. Su ecuación característica es la siguiente:
[matemáticas] \ lambda ^ 2 – 6 \ lambda + 9 = 0 [/ matemáticas]
que tiene una raíz doble: [math] \ lambda_1 = \ lambda_2 = 3 [/ math]. Por lo tanto, la solución general es en forma de:
[matemáticas] x = (C_1 + C_2t) e ^ {\ lambda_1t} = (C_1 + C_2t) e ^ {3t} [/ matemáticas]
donde [matemáticas] C_1, C_2 [/ matemáticas] son ​​ciertas constantes

Ahora está listo para resolver [math] y [/ math]:
[matemáticas] y = x ‘- 5x = (-2C_1 + C_2 -2C_2t) e ^ {3t} [/ matemáticas]

La forma general de resolver esto es observar que tiene una ecuación de la forma [math] \ dot {r} = Ar [/ math] donde [math] r = \ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix } [/ math] y [math] A = \ left (
\ begin {array} {cc}
5 y 1 \\
-4 y 1 \\
\ end {array}
\ right) [/ math]. La solución a esta ecuación es
[matemáticas] r (t) = e ^ {A t} r (0) [/ matemáticas]. Evaluar [matemáticas] e ^ {A t} [/ matemáticas] es complicado porque es, ¿me olvido de cómo se llama, nilpotente ?, ¿singular? Tiene un único valor propio degenerado de 3. Es complicado porque, mientras que el valor propio 3 tiene una multiplicidad algebraica de 2, el espacio que abarcan los vectores propios es unidimensional. Así, la multiplicidad algebraica> la multiplicidad geométrica. Es por eso que la solución involucra términos que contienen expresiones como [math] te ^ {3t} [/ math].
En cualquier caso [matemáticas] e ^ {A t} = \ left (
\ begin {array} {cc}
e ^ {3 t} (2 t + 1) y e ^ {3 t} t \\
-4 e ^ {3 t} t & e ^ {3 t} (1-2 t) \\
\ end {array}
\ right) [/ math]

Este es un sistema de primer orden de ecuaciones diferenciales lineales. El problema se puede resolver con la ayuda de Mathematica usando la función incorporada DSolve [] y escribiendo el código:

DSolve [{x ‘[t] == ​​5 x [t] + y [t], y’ [t] == ​​y [t] – 4 x [t]}, {x, y}, t]

El resultado o solución obtenida es el siguiente:

[matemáticas] \ displaystyle x (t) = c_ 1 (2 t + 1) e ^ {3 t} + c_ 2 e ^ {3 t} t [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle y (t) = -4 c_ 1 e ^ {3 t} t – c_ 2 e ^ {3 t} (2 t – 1) [/ math]

Este problema también se puede resolver con la ayuda de Maple escribiendo el código:

sys_ode: = diff (y (t), t) = y (t) -4 * x (t), diff (x (t), t) = 5 * x (t) + y (t)
dsolve ([sys_ode])

La solución o el resultado obtenido es similar a la solución dada por Mathematica, pero con una disposición diferente de las constantes:

[matemáticas] \ displaystyle x (t) = e ^ {3 t} (C_1 + C_2 t) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle y (t) = -e ^ {3 t} (2 C_1 + 2 C_2 t – C_2) [/ matemática]

Método I

Dado [matemáticas] \ frac {dx} {dt} = 5x + y…. (1) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {dy} {dt} = y-4x ………. (2) [/ matemáticas]

Escribir D para [matemáticas] \ frac {d} {dt} [/ matemáticas]

(D-5) x = y ………. (3)

(D-1) y = -4x … … .. (4)

Sustituyendo y de (3) en (4)

(D-1) (D-5) x = -4x

[matemáticas] (D ^ 2-6D + 5) x = -4x [/ matemáticas]

[matemáticas] (D ^ 2–6D + 9) x = 0 [/ matemáticas]

La ecuación auxiliar es [matemática] m ^ 2–6m + 9 = 0 [/ matemática] da raíces m = 3,3

Entonces [matemáticas] x = (C_1t + C_2) e ^ {3t} [/ matemáticas]

enchufar (3)

[matemáticas] y = (C_1–2C_1t-2C_2) e ^ {3t} [/ matemáticas]

Método II

Dado [matemáticas] \ frac {dx} {dt} = 5x + y…. (1) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {dy} {dt} = y-4x ………. (2) [/ matemáticas]

escribir [matemáticas] dt = \ frac {dy} {y-4x} = \ frac {dx} {y + 5x} = \ frac {mdy + ndx} {m (y-4x) + n (y + 5x)} = \ frac {mdy + ndx} {(m + n) y + (5n-4m) x} [/ matemática]

Ahora deje que [math] \ frac {m} {m + n} = \ frac {n} {5n-4m} [/ math]

que da n = 2m

Sustituyendo obtenemos

[matemáticas] dt = \ frac {1dy + 2dx} {y-4x + 2y + 10x} [/ matemáticas] = [matemáticas] \ frac {dy + 2dx} {3 (y + 2x)} [/ matemáticas]

Integrando [matemáticas] \ ln (y + 2x) = 3t + C [/ matemáticas]

[matemática] \ por lo tanto y + 2x = e ^ {3t + C} = C_1e ^ {3t}… .. (3) [/ matemática]

De (1) y (3)

[matemáticas] x’-3x = C_1e ^ {3t}… [/ matemáticas] ……… (4)

resolviendo esto obtenemos [matemática] x = ([/ matemática] [matemática] C_1t + C_2) e ^ {3t} [/ matemática] ……. (5)

[matemáticas] y = (C_1-2C_2-2C_1t) e ^ {3t} [/ matemáticas] ……. (6)

Usaré un enfoque ligeramente diferente,

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ text {d} x} {\ text {d} t} = 5x + y \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ text {d} y} {\ text {d} t} = y-4x \ tag * {} [/ matemáticas]

Suponemos que el sistema tiene las siguientes soluciones,

[matemáticas] \ displaystyle x = Ae ^ {\ lambda t} \ tag * {} [/ matemáticas]

[math] \ displaystyle y = Be ^ {\ lambda t} \ tag * {} [/ math]

Al conectarlos a las ecuaciones,

[matemáticas] \ displaystyle A \ lambda = 5A + B \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle (5- \ lambda) A + B = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle B \ lambda = B-4A \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle (1- \ lambda) B-4A = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ left \ | \ begin {matrix} 5- \ lambda & 1 \\ -4 & 1- \ lambda \ end {matrix} \ right \ | = 0 \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle (\ lambda ^ 2-6 \ lambda + 5) – (- 4) = 0 \ iff (\ lambda-3) ^ 2 = 0 \ tag * {} [/ math]

Raíces repetidas.

[matemáticas] \ displaystyle \ lambda = 3 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Primera parte de la solución,

[matemáticas] \ displaystyle (5-3) A + B = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle 2A + B = 0 \ iff B = -2A \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle A = 1, B = -2 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle x = e ^ {3 t} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle y = -2e ^ {3 t} \ tag * {} [/ matemáticas]

Segunda parte de la solución,

[matemáticas] \ displaystyle x = (A_1t + A_2) e ^ {3t} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle y = (B_1t + B_2) e ^ {3t} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle 3A_1t + 3A_2 + A_1 = 5A_1t + 5A_2 + B_1t + B_2 \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle 2A_1t + 2A_2 + B_1t + B_2-A_1 = 0 \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle B_1 = -2A_1 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle A_1 = 1, B_1 = -2 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle 2A_2 + B_2 = 1 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Elegir

[matemáticas] \ displaystyle B_2 = 1, A_2 = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ displaystyle x = te ^ {3t} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle y = (- 2t + 1) e ^ {3t} \ tag * {} [/ matemáticas]

La solución general es entonces,

[matemáticas] \ displaystyle x = c_1e ^ {3 t} + c_2te ^ {3t} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle y = -2c_1e ^ {3 t} + c_2 (-2t + 1) e ^ {3t} \ tag * {} [/ matemáticas]