Este es un ODE de sistema lineal de primer orden con coeficientes constantes. Hay formas estándar de resolver este tipo de sistemas ODE aprovechando los cálculos de matriz sin involucrar explícitamente la integración. Pero para algunos casos simples como este, podemos resolver directamente utilizando una técnica que se describe a continuación:
Reescribimos el sistema usando la notación [math] x ‘= \ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}, y’ = \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t} [/ matemáticas]
[matemáticas] x ‘= 5x + y \ quad (1) [/ matemáticas]
[matemáticas] y ‘= y-4x \ quad (2) [/ matemáticas]
De 1):
[matemáticas] y = x’-5x [/ matemáticas]
[math] \ Rightarrow y ‘= x’ ‘- 5x’ \ quad (3) [/ math]
Inserte (3) en (2):
[matemáticas] x ” – 5x ‘= x’-5x-4x [/ matemáticas]
Reorganización, tenemos:
[matemáticas] x ” – 6x ‘+ 9x = 0 [/ matemáticas]
Este es un ODE de segundo orden con coeficientes constantes que está listo para resolver. Su ecuación característica es la siguiente:
[matemáticas] \ lambda ^ 2 – 6 \ lambda + 9 = 0 [/ matemáticas]
que tiene una raíz doble: [math] \ lambda_1 = \ lambda_2 = 3 [/ math]. Por lo tanto, la solución general es en forma de:
[matemáticas] x = (C_1 + C_2t) e ^ {\ lambda_1t} = (C_1 + C_2t) e ^ {3t} [/ matemáticas]
donde [matemáticas] C_1, C_2 [/ matemáticas] son ciertas constantes
Ahora está listo para resolver [math] y [/ math]:
[matemáticas] y = x ‘- 5x = (-2C_1 + C_2 -2C_2t) e ^ {3t} [/ matemáticas]