Deje que [math] p, q [/ math] sean enteros positivos. ¿Cómo se puede probar que [matemáticas] \ frac {p ^ 2} {q} + p [/ matemáticas] y [matemáticas] p + \ frac {q} {2} [/ matemáticas] no son ambos cuadrados perfectos?

Answer 1

Deje que [math] \ frac {p ^ {2}} {q} + p, p + \ frac {q} {2} [/ math] ambos sean cuadrados perfectos

Así [matemáticas] \ frac {p ^ {2}} {q} + p – (p + \ frac {q} {2}) [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ frac {p ^ {2}} {q} – \ frac {q} {2} [/ matemáticas]

= [matemáticas] (\ frac {p} {\ sqrt {q}} – \ sqrt {\ frac {q} {2}}) [/ matemáticas] *
[matemáticas] (\ frac {p} {\ sqrt {q}} + \ sqrt {\ frac {q} {2}}) [/ matemáticas]

donde ambos términos deben ser enteros.

Esto es posible si q = 2 * k, donde k es un cuadrado perfecto y
[matemáticas] \ sqrt {2k} [/ matemáticas] divide p. Sin embargo, 2 no es un cuadrado perfecto, [math] \ sqrt {q} [/ math] no es, por lo tanto, un número entero. Como p es un número entero, [math] \ frac {p} {\ sqrt {q}} [/ math], no puede ser un número entero, de hecho debe ser irracional.

Tenemos una contradicción con nuestra suposición inicial.

Answer 2

Esta prueba usará varias veces el “hecho útil” de que si [matemática] 2 [/ matemática] divide [matemática] k ^ 2 [/ matemática], entonces [matemática] 2 [/ matemática] divide [matemática] k [/ matemática ]

Suponga que [math] a ^ 2 = \ frac {p ^ 2} {q} + p [/ math] y [math] b ^ 2 = p + \ frac {q} {2} [/ math] son ​​cuadrados perfectos.

La segunda ecuación nos dice que [math] q [/ math] debe ser divisible por 2, porque p es un número entero. Según la primera ecuación, sabemos que [matemática] q [/ matemática] divide [matemática] p ^ 2 [/ matemática] por lo que [matemática] p [/ matemática] debe ser incluso igual, y de hecho [matemática] q [ / math] es divisible por 4.

[matemática] b ^ 2 = 2 (\ frac {p} {2} + \ frac {q} {4}) [/ matemática], y los dos últimos términos son enteros, entonces [matemática] b [/ matemática] también es divisible por 2. Sea [math] b = 2d [/ math], entonces

[matemáticas] 4d ^ 2 = p + \ frac {q} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] d ^ 2 = \ frac {p} {4} + \ frac {q} {8} [/ matemáticas]

Todavía no hemos demostrado que [math] p [/ math] es divisible por 4. Veamos el otro cuadrado. Ya que [math] \ frac {p ^ 2} {q} + p [/ math] es par, [math] a [/ math] también es par. Sea [math] c = 2a [/ math], entonces

[matemáticas] 4c ^ 2 = \ frac {p ^ 2} {q} + p [/ matemáticas]
[matemáticas] 2c ^ 2 = \ frac {p ^ 2} {2q} + \ frac {p} {2} [/ matemáticas]

Una vez más, sabemos que [math] \ frac {p ^ 2} {2q} [/ math] es un número entero. Pero debido a que [math] q [/ math] es divisible por 4, también concluimos que 2 divide [math] (\ frac {p} {2}) ^ 2 [/ math], entonces [math] p [/ math] es de hecho divisible por 4.

Comenzando con un par de enteros [math] p [/ math] y [math] q [/ math] que satisfacen las condiciones dadas, hemos demostrado que un par más pequeño [math] \ frac {p} {4} [/ math ] y [math] \ frac {q} {4} [/ math] también forman cuadrados perfectos, a saber:

[matemáticas] c ^ 2 = \ frac {(\ frac {p} {4}) ^ 2} {(\ frac {q} {4})} + (\ frac {p} {4}) [/ matemáticas]
[matemáticas] d ^ 2 = (\ frac {p} {4}) + \ frac {(\ frac {q} {4})} {2} [/ matemáticas]

Pero esto es imposible; debe haber alguna solución más pequeña en los enteros. (Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Pro… .)