¿Cómo le explicaría a un laico la diferencia entre un ‘cálculo’ y un ‘álgebra’?

Answer 1

Un álgebra es un dominio con algún conjunto de operadores sobre él. Los operadores tienen ciertas propiedades que permiten que las expresiones se reorganicen y simplifiquen. Por ejemplo, la multiplicación se distribuye sobre la suma, pero no al revés, entonces a (b + c) = ab + ac, pero a + bc! = (A + b) (a + c). Del mismo modo, en álgebra relacional select se distribuye sobre todas las operaciones de conjunto, pero no sobre renombrar. Hay todo un campo llamado álgebra abstracta que estudia las propiedades de las álgebras en general. La teoría de grupo, que puede haber encontrado en la escuela, es una parte del álgebra abstracta.

Cálculo no es un término tan preciso. Realmente, un cálculo es solo un sistema que le permite calcular ciertos tipos de resultados mecánicamente. Entonces, los cálculos integrales y diferenciales le permiten calcular funciones para acumulaciones y tasas de cambio, el cálculo lambda le permite calcular lo que sucede cuando aplica funciones entre sí, y el cálculo relacional le permite calcular con relaciones n-arias. No existe una teoría general de los cálculos más allá de la teoría general de la computación, que no tiene mucho que decir sobre cómo se construyen dichos sistemas, sino qué tiende a suceder cuando se tiene uno.

Si tomamos estas definiciones, entonces cada álgebra es un cálculo pero no al revés. Sin embargo, si define un sistema algebraico para manipular algo, sería extraño llamarlo cálculo, generalmente la razón por la que lo hace es para que pueda aplicar algunos de los resultados del álgebra abstracta, y luego llamarlo álgebra es útil.