¿Existe una forma algebraica para describir el dominio y el rango de la región de solución de un sistema de desigualdades lineales?

Answer 1

Depende del sistema específico bajo consideración. Por supuesto, sabemos que una parte esperada de caracterizar algebraicamente una función es la provisión de condiciones sobre las cuales la expresión matemática que describe su comportamiento es válida; si las condiciones deben imponerse o no depende de cómo busquemos definir la función. Para un buen ejemplo, consideremos la función única, la función tangente con el argumento x .

La función tangente:

Digamos, además, que alguien ahora quiere definir la función sobre el dominio más grande sobre el cual la función exhibe continuidad. Por supuesto, tanto desde una mirada superficial al gráfico anterior como a su conocimiento de trigonometría, usted sabe que la función tangente es discontinua para

(pi / 2) +/- (n * pi) | n es un elemento de los enteros, Z

Por lo tanto, la mayor longitud de dominio a través de la cual se podría definir una parte de la función tangente está dada por el intervalo abierto

{ I: I = x es un elemento (- (pi / 2), (pi / 2)) }

Usando la convención según la cual consideramos solo ese subconjunto de toda la función tangente definida desde sus valores principales , obtenemos lo que se conoce como función tangente restringida :

Claramente, esto satisface los criterios necesarios. La función es continua durante todo el intervalo definido a lo largo de su límite inferior como el límite de tan ( x ) a medida que x se acerca – (pi / 2); de manera similar, su límite superior se da como el operador de límite aplicado a través de la función tangente [aquí, el operando] cuando x se acerca a positivo (pi / 2). Por lo tanto, el dominio es ~ Pi, aunque en realidad nunca alcanza el valor.

Nota: NO sería continuo si uno lo define durante el intervalo cerrado.

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El ejemplo anterior presenta un ejemplo ostensiblemente más sofisticado que, por ejemplo, si hubiéramos elegido considerar alguna función constante arbitraria,

y = 3

Esto es extremo, por supuesto, y representa el ejemplo más trivial posible. Como solo una línea horizontal, la función se define de infinito negativo a positivo y posee un rango igual a la función misma ( es decir , Rango [ f ( x )] = y = 3).

Puede observar que muchas funciones encontradas de manera similar están bien definidas en la totalidad del continuo ( es decir , la recta numérica real extendida ). Por ejemplo, todas las ecuaciones polinómicas, el seno, el coseno y trigonométrico cotangente, la función exponencial natural, etc. Esto también es válido para cualquier combinación lineal de funciones continuas.
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Ahora … pasando a los sistemas de ecuaciones. Como mencioné al principio, esto realmente depende de las ecuaciones específicas que componen el sistema. Y, obviamente, esto requiere como primer lema que incluso exista un espacio de solución que satisfaga las desigualdades.

Pero, normalmente, la elección de uno de cómo caracterizar el dominio y el rango del sistema se deriva de su cálculo de los puntos de intersección. Por ejemplo, consideremos el sistema de dos ecuaciones lineales:

1) f (x) = | x | – 1
  2) g (x) = – | x | +1

Se verá que la región de superposición ( es decir , la solución al sistema lineal) es centrosimétrica respecto al origen y, geométricamente, tiene la forma de un cuadrado girado 45 grados sobre el origen ( es decir , el centro de rotación).

Por lo tanto, uno podría caracterizar el espacio de solución, algebraicamente:

• Dominio: dom { f ( x ) Unión g ( x )} = [-1, +1]
• Rango: rango { f ( x ) Unon g ( x )} = [-1, +1]

Este fue claramente un ejemplo conveniente en el sentido de que la intersección se definió en dos puntos, de modo que el espacio de solución puede describirse inmediatamente a partir de métodos elementales. De hecho, incluso se puede dar el área abarcada por el conjunto de soluciones ( es decir , 1 Unidad al cuadrado) de nada más que un conocimiento de matemáticas de cuarto grado, pero los ejercicios que se encuentran normalmente rara vez serán “bonitos”. Por ejemplo, otros espacios de solución pueden ser ilimitados, aunque todavía estén definidos.

Como último punto, notamos que si bien podemos proporcionar límites que describen el espacio de solución [suponiendo que exista], en los sistemas no lineales de ecuaciones con mayor frecuencia se encontrará que lo único que puede describir completamente la forma del espacio de solución es el ecuaciones dadas ellos mismos.