Lo que hiciste allí es un error común que es la base de muchas “pruebas falsas”. Esencialmente, lo que estás haciendo es
[matemáticas] f (a) = f (b) \ implica a = b [/ matemáticas]
A veces puedes hacerlo, a veces no puedes, y es realmente importante entender cuándo, porque puede ser sutil.
Por ejemplo, dejemos
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[matemáticas] f (x) = x ^ 2 [/ matemáticas]
¿Podemos hacer el truco ?, es decir
[matemáticas] x ^ 2 = y ^ 2 \ implica x = y [/ matemáticas]?
La respuesta es, depende”. Si restringimos [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas] a números reales positivos, entonces sí, podemos hacer esto. Por otro lado, si permitimos que [math] x [/ math] y [math] y [/ math] sean cualquier número real (o complejo), no podemos (([math] -2) ^ 2 = 2 ^ 2 [/ matemáticas]).
Entonces, para saber si podemos hacerlo o no, necesitamos no solo la función “definición”, sino también su dominio. Teniendo eso, ¿cómo sabemos si se nos permite hacer ese truco para una función específica? Bueno, hay un nombre para las funciones para las cuales puedes hacerlo: se llaman inyectivas . Entonces, alguien puede responder que no puedes hacer esto porque la función
[matemáticas] f (a) = 1 ^ a [/ matemáticas]
No es inyectivo. Pero eso es un poco tautológico. Entonces, lo que necesitamos es entender cómo encontrar si una función es inyectiva o no. Para demostrar que una función no es inyectiva, lo único que necesita es encontrar [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] de modo que
[matemáticas] a \ neq b, f (a) = f (b) [/ matemáticas]
Lo cual, para la función [matemática] f (a) = 1 ^ a [/ matemática] es realmente bastante simple, ya que [matemática] f (a) = 1 [/ matemática] para cada número real a. Por eso no puedes invertirlo (el truco).
Por otro lado, probar que una función es inyectiva puede ser un poco más complicado. A veces, el camino más fácil es asumir que f (a) = f (b) y demostrar que a necesita ser igual a b. Pero muy a menudo terminas invirtiendo implícita o explícitamente la función en el camino, lo cual es tautológico. A veces, es más fácil demostrar que f está aumentando estrictamente o disminuyendo estrictamente. Si f está aumentando, por ejemplo,
[matemática] a \ neq b \ implica a <b [/ matemática] o [matemática] b <a \ implica f (a) <f (b) [/ matemática] o [matemática] f (b) <f (a ) \ implica f (a) \ neq f (b) [/ math]
Ese es el caso, por ejemplo, de (siempre asumiendo que x es un número real)
[matemáticas] f (x) = x + 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] f (x) = 2x [/ matemáticas]
[matemáticas] f (x) = 2 ^ x [/ matemáticas]
Todos aumentan estrictamente, por lo tanto, son inyectivos (si conoce el cálculo, puede verificarlo tomando las derivadas y verificando que sean estrictamente positivas en toda la línea real). Y es por eso que puede “restar 2 a ambos lados de la ecuación”, o “dividir por 2” o “tomar registros”. Pero como lo hacemos casi inconscientemente después de un tiempo, terminamos asumiendo que podemos hacer lo mismo para otras funciones, que pueden no ser inyectivas. Y eso es exactamente lo que hiciste allí.
TL; DR El error es que ha invertido una función no inyectiva ( [matemática] 1 ^ {x} [/ matemática] )