Evaluación del integrando [math] \ frac {P \ left (x \ right)} {x + \ frac {1} {2}} [/ math] cuando [math] x \ in \ left [m, m + 1 \ right )[/matemáticas]:
[matemática] P \ left (x \ right) = xm- \ frac {1} {2} \ Rightarrow \ frac {P \ left (x \ right)} {x + \ frac {1} {2}} = 1- \ frac {m + 1} {x + \ frac {1} {2}} [/ math]
La integral es por lo tanto:
[matemáticas] \ int_ {1} ^ {\ infty} \ frac {P \ left (x \ right)} {x + \ frac {1} {2}} {dx} [/ math]
[matemáticas] = \ sum_ {m = 1} ^ {\ infty} \ int_ {m} ^ {m + 1} \ left (1- \ frac {m + 1} {x + \ frac {1} {2}} \ right) {dx} [/ math]
[matemáticas] = \ sum_ {m = 1} ^ {\ infty} 1- \ left (m + 1 \ right) \ left [\ log \ left (\ frac {1} {x + \ frac {1} {2} } \ right) \ right] _ {m} ^ {m + 1} [/ math]
- ¿Por qué sen x se aproxima a x cuando x se acerca a cero?
- Cómo explicar esto: 1 + 1 = 0
- ¿Por qué las matrices ortogonales representan rotaciones?
- ¿Existen teoremas generales de existencia y unicidad para la (s) solución (es) o la falta de ella de un sistema de m ecuaciones algebraicas no lineales de grado n?
- Deje un número entero [matemática] x [/ matemática] [matemática] \ equiv [/ matemática] [matemática] r_1 [/ matemática] (mod [matemática] d_1 [/ matemática]), [matemática] \ equiv [/ matemática] [ matemática] r_2 [/ matemática] (mod [matemática] d_2 [/ matemática]), [matemática] \ equiv [/ matemática] [matemática] r_3 [/ matemática] (mod [matemática] d_3 [/ matemática]),…, [matemática] \ equiv [/ matemática] [matemática] r_n [/ matemática] (mod [matemática] d_n [/ matemática]). Dado [math] (r_i, d_i) \ forall i = 1 – n [/ math], ¿siempre es posible determinar [math] x [/ math] para cualquier [math] n [/ math]?
[matemáticas] = \ sum_ {m = 1} ^ {\ infty} 1- \ left (m + 1 \ right) \ log \ left (1+ \ frac {1} {m + \ frac {1} {2}} \ right) [/ math]
[matemáticas] = \ sum_ {m = 1} ^ {\ infty} 1- \ log \ left (1+ \ frac {1} {m + \ frac {1} {2}} \ right) ^ {\ left (m + \ frac {1} {2} \ right)} + [/ math]
[matemáticas] + \ frac {1} {2} \ log \ left (1+ \ frac {1} {m + \ frac {1} {2}} \ right) [/ math]
[matemáticas] = \ sum_ {m = 1} ^ {\ infty} 1- \ log \ left (1+ \ frac {1} {m + \ frac {1} {2}} \ right) ^ {\ left (m + \ frac {1} {2} \ right)} + [/ math]
[matemáticas] + \ sum_ {m = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {2} \ log \ left (1+ \ frac {1} {m + \ frac {1} {2}} \ right) [/matemáticas]
La primera suma es positiva, por lo que es suficiente para mostrar que la segunda suma diverge, lo que hace mediante la prueba de comparación (con [matemáticas] \ sum_ {m = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {m} [ /matemáticas]).