¿Cuáles son algunas propiedades interesantes y hermosas de la función gamma?

Answer 1

La fórmula de reflexión de Euler es muy interesante.

La función gamma, [math] \ Gamma (z) [/ math] tiene polos en enteros negativos, [math] z = -1, -2, -3, \ ldots. [/ Math]

Imagen de la función wiki de Meromorphic.

Entonces [math] \ Gamma (1-z) [/ math] tiene polos en [math] z = 0,1,2, \ ldots. [/ Math] Por lo tanto, el producto de estas dos funciones,
[matemáticas] \ Gamma (z) \ Gamma (1-z), [/ matemáticas]

tiene polos en todos los enteros, y el recíproco de eso,

[matemáticas] \ dfrac1 {\ Gamma (z) \ Gamma (1-z)}, [/ matemáticas]

tiene ceros en todos los enteros.

Conocemos otra función que tiene ceros en todos los enteros, a saber, [math] \ sin \ pi z. [/ Math] ¿No sería algo si esas dos funciones estuvieran relacionadas? Euler determinó que sí. Uno es [math] \ pi [/ math] veces el otro. Eso generalmente se expresa como la fórmula de reflexión de Euler

[matemáticas] \ Gamma (1-z) \ Gamma (z) = \ dfrac {\ pi} {\ sin \ pi z}. [/ math]

Entonces, en cierto sentido, el recíproco de la función Gamma es la mitad de la función seno.

Answer 2

Hay una hermosa identidad llamada Fórmula de reflexión de Euler de la función Gamma. [matemáticas] \ Gamma (z) \ Gamma (1-z) = \ dfrac {\ pi} {\ sin (\ pi z)} [/ matemática]

Prueba:

Sabemos,

[matemáticas] B (m, n) = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} x ^ {m-1} (1-x) ^ {n-1} \ mathrm {d} x [/ math]

Dejar,

[matemáticas] x = \ dfrac {y} {1 + y} \ implica y = \ dfrac {x} {1-x} \ rightarrow \ mathrm {d} x = \ dfrac {\ mathrm {d} y} {( 1 + y) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] B (m, n) = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ infty} y ^ {m-1} (1-y) ^ {- (m + n)} \ mathrm {d} y [ /matemáticas]

[matemáticas] \ implica B (m, n) = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ infty} \ dfrac {x ^ {m-1}} {(1 + x) ^ {m + n}} \ mathrm {d} x [/ matemáticas]

Sea, [matemática] m = z [/ matemática] y [matemática] n = 1-z [/ matemática] por lo tanto,

[matemáticas] B (z, 1-z) = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ infty} \ dfrac {x ^ {z-1}} {1 + x} \ mathrm {d} x [/ math]

De nuevo sabemos

[matemáticas] B (x, y) = \ dfrac {\ Gamma (x) \ Gamma (y)} {\ Gamma (x + y)} [/ matemáticas]

Por lo tanto,

[matemáticas] B (z, 1-z) = \ Gamma (z) \ Gamma (1-z) = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ infty} \ dfrac {x ^ {z-1}} {1 + x} \ mathrm {d} x [/ math]

Usando el método de integración de contorno :

[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ infty} \ dfrac {x ^ {z-1}} {1 + x} \ mathrm {d} x [/ math]

Dejar,

[matemáticas] f (w) = \ dfrac {w ^ {z-1}} {1-w} \ hspace {1cm} w = x + iy [/ matemáticas]

Ya que [matemática] f (w) [/ matemática] tiene singularidades [matemática] w = 0,1 [/ matemática] porque [matemática] (z-1) \ lt 0 [/ matemática] . Por lo tanto, modificamos el contorno sangrando con [math] w = 0,1 [/ math].

Como no hay singularidades de f (w) dentro del contorno entero C. Según el teorema integral de Cauchy,

[matemática] \ displaystyle \ oint_ {C} f (z) \ mathrm {d} z = 0 [/ math]

[matemáticas] \ implica \ displaystyle \ int _ {- R} ^ {r_1} f (x) \ mathrm {d} x + \ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (w) \ mathrm {d} w + \ displaystyle \ int_ { r_1} ^ {1-r_2} f (x) \ mathrm {d} x + \ displaystyle \ int _ {\ delta} f (w) \ mathrm {d} w + \ displaystyle \ int_ {1 + r_2} ^ {R} f (x) \ mathrm {d} x + \ displaystyle \ int _ {\ Gamma} f (w) \ mathrm {d} w = 0 [/ math]

Ahora,

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {R \ to \ infty} \ displaystyle \ int _ {\ Gamma} f (w) \ mathrm {d} w = 0 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {r_1 \ a 0} \ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (w) \ mathrm {d} w = 0 [/ math]

y,

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {w \ a 1} (w-1) \ dfrac {w ^ {z-1}} {(1-w)} = – 1 [/ matemáticas]

Entonces, [math] \ displaystyle \ lim_ {r_2 \ to 0} \ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (w) \ mathrm {d} w = -i (0- \ pi) = i \ pi [/ math]

Así obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {R \ to \ infty} \ displaystyle \ int _ {- R} ^ {R} \ dfrac {x ^ {z-1}} {1-x} \ mathrm {d} x = – i \ pi [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ dfrac {x ^ {z-1}} {1-x} \ mathrm {d} x = -i \ pi [/ math]

Ahora,

[matemáticas] \ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ dfrac {x ^ {z-1}} {1-x} \ mathrm {d} x = \ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {0} \ dfrac {x ^ {z-1}} {1-x} \ mathrm {d} x + \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ infty} \ dfrac {x ^ {z-1}} {1 -x} \ mathrm {d} x [/ math]

Poniendo [matemáticas] x = -y [/ matemáticas] en

[matemáticas] \ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {0} \ dfrac {x ^ {z-1}} {1-x} \ mathrm {d} x [/ math]

obtenemos,

[matemáticas] = \ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {0} – \ dfrac {(-1) ^ {z-1} y ^ {z-1}} {1 + y} \ mathrm {d} y [/matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int _ {\ infty} ^ {0} \ dfrac {\ left (e ^ {i \ pi} \ right) ^ {z} y ^ {z-1}} {1 + y} \ mathrm {d} y [/ math]

[matemáticas] = – e ^ {i \ pi z} \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ infty} \ dfrac {y ^ {z-1}} {1 + y} \ mathrm {d} y [/ math ]

Entonces,

[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ infty} \ dfrac {x ^ {z-1}} {1-x} \ mathrm {d} xe ^ {i \ pi z} \ displaystyle \ int_ {0 } ^ {\ infty} \ dfrac {x ^ {z-1}} {1 + x} \ mathrm {d} x = -i \ pi [/ math]

Ahora equiparando la parte imaginaria que obtenemos,

[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ infty} \ dfrac {x ^ {z-1}} {1 + x} \ mathrm {d} x = \ dfrac {\ pi} {\ sin (\ pi z)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ Gamma (z) \ Gamma (1-z) = \ dfrac {\ pi} {\ sin (\ pi z)} [/ math]

Además de las otras propiedades son