¿Por qué las funciones cuadráticas no forzaron el descubrimiento de la unidad imaginaria / números complejos?

Answer 1

Resolver una ecuación hacia 1600 significaba que uno quería encontrar un número real, aunque la definición no se creó en ese momento, se podía pensar (en ese momento) en números que tienen sentido como raíces de una ecuación cuadrática, números positivos, negativos Números y cero. Supongamos que estaba resolviendo una ecuación cuadrática en ese momento, tenía tres posibilidades:

1. Si el discriminante es mayor que cero, tendrá dos raíces reales.
2. Si el discriminante es igual a cero, tiene una raíz real.
3. Si el discriminante es menor que cero, no tiene raíces reales.

Por lo tanto, tener los casos 1 y 2 tiene sentido, pero tener el tercer caso era un completo disparate en ese momento. Preste atención a lo que hicimos aquí, observamos la naturaleza de las raíces y discutimos cuáles tienen sentido.

Cuando Bombelli aplicó la fórmula de Cardano a la ecuación [matemáticas] x ^ 3 = 15x + 4 [/ matemáticas], obtuvo [matemáticas] x = \ sqrt [3] {2+ \ sqrt {-121}} + \ sqrt [3 ] {2- \ sqrt {-121}} [/ math] y no descartó la solución: porque observó por inspección que [math] x = 4 [/ math] es la raíz de la ecuación. Aquí estaba el problema: si bien todas las raíces de la [matemática] x ^ 3 = 15x + 4 [/ matemática] son ​​reales, la fórmula para obtenerlas involucraba las raíces cuadradas de los números negativos, sin sentido en ese momento.

Bombelli adoptó las reglas para cantidades reales para manipular expresiones sin sentido de la forma [math] a + \ sqrt {-b} [/ math] con [math] b> 0 [/ math] y luego logró demostrar que:

[matemáticas] \ sqrt [3] {2 + \ sqrt {-121}} = 2+ \ sqrt {-1} [/ matemáticas]

Y:

[matemáticas] \ sqrt [3] {2 – \ sqrt {-121}} = 2 – \ sqrt {-1} [/ matemáticas]

Y de ahí que:

[matemáticas] x = \ sqrt [3] {2 + \ sqrt {-121}} + \ sqrt [3] {2 – \ sqrt {-121}} [/ matemáticas]

Igual a:

[matemáticas] (2+ \ sqrt {-1}) + (2- \ sqrt {-1}) = 4 [/ matemáticas]

Observe el texto en negrita que he escrito anteriormente: en ese caso, tratamos de obtener las raíces de la ecuación e identificamos las raíces que tienen sentido, en este caso, usamos raíces cuadradas sin sentido para obtener una raíz significativa. Bombelli sugirió que las raíces cuadradas de los números negativos podrían manipularse de manera significativa para obtener resultados significativos.

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Observe que un número significativo en ese momento era algo así como un número real, luego los números complejos se usaron como herramienta para encontrar soluciones reales en ecuaciones cúbicas. Al descubrir los números complejos con [math] x ^ 2 + 1 = 0 [/ math], terminarás con un número sin sentido, descubriéndolo a través del cúbico que mencioné, terminarás con un artefacto interesante para Encontrar soluciones reales en algunas ecuaciones cúbicas.

Answer 2

Si un polinomio cuadrático con coeficientes reales tiene raíces reales, nunca tendrá que calcular con números imaginarios para obtenerlos. Eso no es cierto para los polinomios cúbicos y de mayor grado, y es por eso que la solución al cúbico general condujo al estudio de números imaginarios.

Answer 3

Aquí está la cosa: algunas ecuaciones cuadráticas tienen 2 soluciones reales, algunas solo 1 y otras solo 0. Y así es como es. Preguntar por qué no es complejo, es un poco como preguntar por qué no un tercer sexo, por qué no un espacio vectorial de dimensión negativa, etc. En ese contexto, es una idea obviamente loca.

Entonces, ¿de dónde viene el número complejo? La idea es que hay una fórmula para ecuaciones de tercer orden: la fórmula de Cardan. La fórmula involucra terceras raíces y raíces cuadradas. Sin embargo, para algunas ecuaciones de tercer orden E, la fórmula involucra una raíz cuadrada de número negativo. Entonces, la ecuación no tiene una solución real, ¿verdad? ¡Pero la ecuación E tiene una solución real! Entonces, hay un problema real: extender la fórmula de Cardan para todas las ecuaciones de tercer orden. Solución: los números complejos.

La lección: las buenas matemáticas vienen para resolver problemas aparentes, resolver inconsistencias.