¿Existen teoremas generales de existencia y unicidad para la (s) solución (es) o la falta de ella de un sistema de m ecuaciones algebraicas no lineales de grado n?

Answer 1

Para ecuaciones polinómicas, sí. Hay algo llamado “resultante”, aquí está la primera oración de la entrada de Wikipedia:

En matemáticas, la resultante de dos polinomios es una expresión polinómica de sus coeficientes, que es igual a cero si y solo si los polinomios tienen una raíz común (posiblemente en una extensión de campo), o, de manera equivalente, un factor común (sobre su campo de coeficientes). En algunos textos antiguos, el resultante también se llama eliminador. [1].

Supongamos que tiene dos polinomios, p (x, y) y q (x, y) y desea resolver el conjunto de ecuaciones p (x, y) == A y q (x, y) == B. Podríamos restar la A y la B de ambos lados y obtener p (x, y) == 0 y q (x, y) == 0 para algunas p y q ligeramente alteradas. Podemos considerar una variable, x , como independiente y la otra como parte de los coeficientes. Por lo tanto, cuando calcula el resultado , obtiene un polinomio en y cuyas raíces corresponden a la solución de las ecuaciones simultáneas p (x, y) == 0 y q (x, y) == 0.

Esta técnica se puede aplicar a N-1 pares de N polinomios en variables M para obtener polinomios N-1 en variables M-1. Y así, digamos T veces, náuseas para obtener polinomios NT en variables MT hasta que N = T sea uno o MT sea uno. Si ambos suceden al mismo tiempo, tendrá un polinomio en una variable de la que puede obtener todas las raíces, y luego trabajar hacia atrás para obtener las raíces del problema original paso a paso.

Tenga en cuenta que el grado de la resultante es el producto de los grados de los dos polinomios a partir de los cuales se calcula. Esto puede implicar que el número de raíces simultáneas en el caso N = M es D ^ N donde D es el grado de los polinomios iniciales. (Digo ‘mayo’ debido a degeneraciones y otras condiciones de acecho).

De todos modos … todo esto es un enfoque primitivo. Hay todo un campo de las matemáticas llamado geometría algebraica que tiene respuestas mucho más elegantes a esta pregunta. Ver “Geometría algebraica” por Robin Hartshorne, por ejemplo. Y la respuesta general es: sí, existen teoremas de existencia y unicidad para polinomios . Para otras funciones no lineales no existe una teoría general, solo resultados parciales.

Answer 2

Realmente depende del tipo de ecuaciones y del tipo de soluciones que esté buscando. Por ejemplo, si las ecuaciones no son polinomios (o reducibles a ecuaciones polinomiales), para un sistema general de m ecuaciones, podría ser muy difícil decir algo sobre las soluciones.

Si, por otro lado, las ecuaciones son polinomios, entonces hay más esperanza. Como se mencionó anteriormente, hay todo un campo de las matemáticas, llamado Geometría Algebraica, que se ocupa de este tipo de preguntas.

En general, el conjunto de soluciones de un sistema de m ecuaciones polinómicas de grado d (perdón por el cambio de notación) en n variables, generalmente se llama una variedad algebraica. Ahora voy a suponer que sus coeficientes son, en el peor de los casos, números complejos (pueden ser enteros, racionales, reales). Según el teorema fundamental de Álgebra, si tiene [math] m> n [/ math], siempre habrá alguna solución compleja. (En realidad, también en el caso [math] m = n [/ math] podría obtener una solución, pero para algunos sistemas la solución podría vivir “fuera” de su espacio, en el hiperplano en el infinito, en particular si “homogeneiza” su sistema, entonces siempre tendrá una solución también en este caso). Puede decir más y calcular la dimensión del conjunto de soluciones (como una variedad compleja dentro de un espacio ambiental, que generalmente será el espacio afín o proyectivo), calcular invariantes de la variedad que obtuvo e incluso estudiar la modificación de conjunto de soluciones que tienen buenas propiedades.

Entonces ve que para una solución compleja la situación es bastante clara (si solo está interesado en saber si hay una solución). Ahora, si pasamos de la solución compleja a la solución real, la situación se vuelve más difícil. El principal ejemplo que debe tener en cuenta es [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = -1 [/ matemáticas]. El conjunto de soluciones de estas ecuaciones polinómicas individuales es infinito si está buscando soluciones complejas (puede encontrar fácilmente una, por ejemplo, [matemática] (1, i) [/ matemática] donde [matemática] i ^ 2 = -1 [/ matemática ] es (una de las) raíces cuadradas de -1, y una vez que tiene una solución, puede construir infinitas). Sin embargo, está claro que no tiene ninguna solución para los números reales [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática], ya que tanto [matemática] x ^ 2 [/ matemática] como [matemática] y ^ 2 [/ math] son ​​positivos, y no hay forma de sumar dos números reales positivos para obtener uno negativo. ¡Y aquí todos los coeficientes son enteros!

La pregunta se vuelve aún más difícil si está buscando soluciones racionales e integrales, es decir, soluciones en números racionales o enteros. Hay todo un campo matemático llamado Geometría Aritmética que estudia este tipo de preguntas. Los dos ejemplos más famosos son el último teorema de Fermat (ahora teorema de Wiles), que puede reformularse como una declaración sobre las soluciones de ecuaciones de la forma [matemáticas] x ^ n + y ^ n = z ^ n [/ matemáticas] en racional números y conjetura de Mordell (ahora el Teorema de Falting), que puede pensarse en una pregunta sobre soluciones de ecuaciones polinómicas en 2 variables de grado al menos 4.

Answer 3

Estoy lejos de ser una autoridad en el tema, pero parece que es posible que desee leer:

Sistema de ecuaciones polinomiales.