¿Por qué los anillos son tan importantes para la geometría algebraica?

Answer 1

Si bien no aparecen muy a menudo en la clase de álgebra, aquí hay algunos anillos importantes:

[matemática] C (X) [/ matemática], el anillo de funciones continuas de valor real en un espacio topológico (adecuadamente agradable) [matemática] X [/ matemática].

[matemáticas] C ^ \ infty (X) [/ matemáticas], el anillo de funciones suaves en un múltiple X.

[math] \ mathcal O (X) [/ math], el anillo de funciones holomórficas en un subconjunto abierto [math] X \ subset \ mathbb {C} [/ math].

Si bien cada uno de estos ejemplos es un anillo, la geometría subyacente de [matemáticas] X [/ matemáticas] está inevitablemente vinculada con el anillo. Por ejemplo, si

[matemáticas] \ mathfrak m \ subconjunto R [/ matemáticas]

es un ideal máximo de uno de estos anillos, será el caso de que [math] \ mathfrak m [/ math] consta de todas las funciones que desaparecen en algún punto [math] x \ in X [/ math]:

[math] \ mathfrak m = \ {f \ en R: f (x) = 0 \}. [/ math]

En cierto sentido, el espacio [matemáticas] X [/ matemáticas] se puede recuperar del anillo [matemáticas] R [/ matemáticas] mirando el conjunto de todos los ideales máximos de [matemáticas] R [/ matemáticas]:

[math] X = \ {\ mathfrak m \ subconjunto R: \ mathfrak m \, \, \ textrm {maximal} \}. [/ math]

Una de las ideas de la geometría algebraica es que cada anillo suficientemente agradable (digamos conmutativo con unidad) puede verse como el anillo de funciones en algún espacio topológico, y que los puntos de este espacio son los ideales máximos del anillo. Así, la teoría de los anillos se reduce al estudio de la geometría de los espacios topológicos asociados.

La geometría (con lo que quiero decir topología moderna, geometría diferencial y geometría algebraica) es realmente el estudio de ciertos anillos de funciones en espacios topológicos. En la otra dirección, cada anillo conmutativo se puede ver como un anillo de funciones de esta manera.

Este es solo un diccionario para ir entre álgebra y geometría: lo principal que obtenemos a través de esta correspondencia es la intuición y un mejor lenguaje para expresar resultados. Pero este lenguaje es extremadamente poderoso y permite una mejor comprensión del álgebra y la geometría.

Answer 2

Eso es un poco como preguntar por qué las células son tan importantes en biología.

La geometría algebraica explora soluciones de ecuaciones polinómicas. Los polinomios se pueden agregar o multiplicar entre sí, pero generalmente no se dividen (a menos que permita los restos); en otras palabras, forman un anillo.

Aún mejor, cuando preguntas qué sucede cuando ciertos polinomios son iguales a cero, que es lo que haces cuando analizas ecuaciones polinomiales, estás formando un cociente del anillo de polinomios, y ese cociente es en sí mismo un anillo.

Entonces, la geometría algebraica también puede describirse como el estudio de (ciertos tipos de) anillos.

Answer 3

La geometría algebraica es el estudio de objetos geométricos por la forma en que todas las diferentes funciones de coordenadas en un objeto interactúan algebraicamente, y el conjunto de todas las funciones de coordenadas en un objeto geométrico forma naturalmente un anillo conmutativo (solo por suma y multiplicación puntual).

La verdadera pregunta, supongo, es por qué la geometría algebraica funciona en absoluto. Pero, por ejemplo, en buenos contextos puede recuperar los puntos de su espacio geométrico como el conjunto de ideales máximos del anillo de coordenadas (un punto corresponde al ideal de todas las funciones de coordenadas que son cero en ese punto).

Answer 4

En pocas palabras: el estudio de los anillos conmutativos se desarrolló POR LA Geometría Algebraica. Eso es esencialmente el trabajo de Oscar Zariski … Para Zariski, los anillos “geométricos” fueron los que se generaron finamente k-álgebras para un campo k. Alexander Grothendieck luego generalizó la noción de espacio para que cualquier anillo se vuelva “geométrico” en algún sentido …

Answer 5

Los anillos son totalmente geometría disfrazada. Arreglas un anillo A e intentas encontrar un espacio X donde los elementos de tu anillo puedan actuar como funciones “agradables”. Las funciones, como siempre, toman algún “valor” en cualquier punto del espacio, por lo que debe decidir cuál quiere que sea su X (como un conjunto al menos). Ahora, para cualquier elemento de ese anillo (que tiene que ser una función), puede verlo en cualquier módulo ideal p. Esto es muy parecido a la “evaluación”, por lo que decides que vas a dejar que tu X sea el conjunto de todos los ideales primarios de A. Ahora quieres ponerle una topología de tal manera que cero conjuntos de tus funciones sean conjuntos cerrados. Entonces obtienes la llamada topología de Zarisky en tu X. Y ahora tienes tu espacio X en el que el conjunto de funciones agradables forman el anillo A. La gente escribe tu X como Especificación A, y así es como comienzas poniendo estructuras geométricas en tu anillo ¡Ponemos más estructura y después de eso lo que tenemos es la noción del esquema afín de Grothendieck!

Answer 6

La leyenda dice que la palabra “anillo” fue acuñada en el momento de la disputa sobre la función elíptica entre Jacobi y Weierstrass.

Ahora sabemos que las funciones elípticas son funciones meromórficas valuadas complejas doble periódicas. Puede modelarlos, a la manera de Weierstrass, como una función definida en un paralelogramo, repitiendo cíclicamente en ambas direcciones.

También puede modelarlos, en opinión de Jacobi, como loxodromos , es decir, como una función definida en un anillo alrededor del centro del plano complejo, y repitiendo, posiblemente con una rotación, a lo largo de una homotecia: [matemáticas] f (z) = af (z), a \ en C [/ matemáticas], | a | siendo la relación de homotetería y arg ( a ) siendo el ángulo de rotación. La imagen es una función bastante agradable al inscribirse en espirales logarítmicas.

Hoy, sabemos que el exponencial complejo transforma un punto de vista en el otro.

Sin embargo, el vocabulario permanece, un anillo es el conjunto de funciones definidas en un anillo, cuando se olvida cualquier cosa excepto sus propiedades algebraicas.

En las últimas décadas, muchos esfuerzos (Zariski, Grothendick, Weily, Gelfand, Dyki, …) se han puesto en el concepto de conversión: dado un anillo, es posible encontrar una variedad para la cual él le dio un conjunto de funciones. anillo dado Por supuesto, el anillo rara vez es un anillo. Su forma rara vez es dibujable, pero sin duda es un objeto geométrico.