¿Dónde viven [matemáticas] a, b, c [/ matemáticas]? Números naturales, enteros, etc.
Si [math] a, b, c \ in \ mathbf {N} [/ math] la respuesta es clara:
1) Si [math] \ mathrm {gcd} (a, b) [/ math] no divide [math] c
[/ math], no hay soluciones.
2) Si [math] \ mathrm {gcd} (a, b) [/ math] divide [math] c
[/ math], hay un número infinito de soluciones positivas .
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- Cómo evaluar la integral [matemáticas] \ int_ {1} ^ {\ infty} \ frac {P (x)} {x + \ frac {1} {2}} {dx} [/ matemáticas] cuando [matemáticas] P ( x) = x- \ left \ lceil x \ right \ rceil – \ frac {1} {2} [/ math]
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De hecho, siempre puede encontrar con el algoritmo euclidiano un par entero [math] (r, s) \ in \ mathbf {Z} ^ 2 [/ math] que satisface [math] ar -bs = \ mathrm {gcd} (a , b) [/ matemáticas].
Entonces el par entero [matemáticas] (\ hat {x}, \ hat {y}) = \ left (\ frac {c} {\ mathrm {gcd} (a, b)} r, \ frac {c} {\ mathrm {mcd} (a, b)} s \ right) [/ math] satisface su ecuación original.
Ahora considere [math] (\ hat {x} + b \ cdot k, \ hat {y} + a \ cdot k) [/ math] para [math] k \ geq 0 [/ math]. También satisfacen su ecuación y son positivos si elige [math] k [/ math] ‘s suficientemente grande.
También puedes mirar una imagen geométrica. Obviamente, [matemáticas] hacha por
[/ math] es el área del paralelogramo abarcado por los vectores [math] (a, b) [/ math] y [math] (y, x) [/ math]. Cambiar [matemática] y [/ matemática] por [matemática] a [/ matemática] y [matemática] x [/ matemática] por [matemática] b [/ matemática] no cambiará el área del paralelogramo [matemática] c [ / math] mientras que su solución se mueve hacia más grande (más positivo) [math] (x, y) [/ math].
Si [math] a, b, c \ in \ mathbf {Z} [/ math] debe tener cuidado y hacer el estudio de caso a fondo. Pero esto va a ser bastante aburrido.