Es un grupo muy complejo, y no creo que admita una buena descripción. Aquí hay algunos aspectos que vienen a la mente:
1. El espacio [math] X = \ mathbb {R} ^ 2 \ setminus \ mathbb {Q} ^ 2 [/ math] está conectado a la ruta. Este es un ejercicio divertido. Por lo tanto, el grupo fundamental está bien definido, independientemente de la elección del punto base.
2. El grupo fundamental es incontable. Aquí hay un argumento bastante simple. Elija un número irracional [matemática] u [/ matemática] y deje que [matemática] p = (u, u) [/ matemática] sea su punto base. Ahora para cualquier otro número irracional [matemática] v [/ matemática] hay un cuadrado con esquinas [matemática] (u, u) [/ matemática] y [matemática] (v, v) [/ matemática] cuyos bordes son paralelos al hachas; este cuadrado corresponde a un bucle obvio que comienza y termina en [math] p [/ math] y este bucle está obviamente contenido en [math] X [/ math]. Además, esos bucles no son homotópicos, ya que puede incrustar [matemática] X [/ matemática] en el plano menos un punto racional que se encuentre entre dos de esos cuadrados, y las imágenes de esos cuadrados en ese espacio son homotópicas para nada y no -Nada, respectivamente.
3. De hecho, el espacio [matemáticas] X [/ matemáticas] contiene un arete hawaiano. Considere un punto [matemático] p [/ matemático] como arriba y un rayo que emana de él, y ahora considere todos los círculos con centro en ese rayo que pasan a través de [matemático] p [/ matemático]. Solo contablemente muchos de esos círculos contienen un punto racional, por lo que permanecen incontablemente; De estos, es fácil elegir un conjunto contable con radios decrecientes.
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El grupo fundamental del arete de Hawi ya es bastante complejo: contiene, pero es decididamente más grande que, un grupo libre en innumerables generadores. Dado que nuestro espacio [matemática] X [/ matemática] contiene muchos pendientes y muchos peores además, no esperaría que hubiera una descripción sucinta de su grupo fundamental, y no me sorprendería saber que no existe tal descripción – sucinto o de otro modo – es conocido.