Cómo encontrar una forma cerrada para la suma [math] \ sum_ {k = 0} ^ {m} \ frac {\ tbinom {m} {k}} {\ tbinom {n} {k}} [/ math] cuando [matemáticas] n \ geq m \ geq 0 [/ matemáticas]

Answer 1

La respuesta es:

[matemáticas] \ frac {n + 1} {n-m + 1} [/ matemáticas]

Esto se desprende de simples manipulaciones algebraicas.

Para ver esto, comencemos desde una identidad simple:
[matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ {m} \ binom {nk} {mk} = \ binom {n + 1} {m} [/ matemáticas]

Expandir esto nos da lo siguiente:
[matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ {m} \ frac {(nk)!} {(mk)! (nm)!} = \ binom {n + 1} {m} [/ matemáticas]

Entonces tenemos,
[matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ {m} \ frac {(nk)!} {(mk)!} = \ binom {n + 1} {m} (nm)! [/ math]

multiplicando por [matemáticas] \ frac {m!} {n!} [/ matemáticas] da
[matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ {m} \ frac {m! (nk)!} {(mk)! n!} = \ binom {n + 1} {m} (nm)! \ frac {m!} {n!} [/ math]

Entonces LHS es lo mismo que,
[matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ {m} \ frac {\ frac {m!} {(mk)!}} {\ frac {n!} {(nk)!}} [/ matemáticas]

Que es lo mismo que
[matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ {m} \ frac {\ binom {m} {k}} {\ binom {n} {k}} [/ matemáticas]
(simplemente multiplicando el numerador y el denominador por [math] \ frac {1} {k!} [/ math])

Entonces,
[matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ {m} \ frac {\ binom {m} {k}} {\ binom {n} {k}} = \ binom {n + 1} {m} (nm) ! \ frac {m!} {n!} [/ math]

El RHS se simplifica a,

[matemáticas] \ frac {n + 1} {n-m + 1} [/ matemáticas]