La respuesta es [matemáticas] (- 1) ^ n \ frac {m (m-1) \ dots (m-n + 1)} {(m + 1) (m + 2) \ dots (m + n + 1 )}[/matemáticas].
Llamar a [matemáticas] v = v_ {n, m} = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ binom {n + k} {2k} \ binom {2k} {k} \ frac {(- 1) ^ k } {m + k + 1} [/ matemáticas].
Introduzca una variable ficticia [math] x [/ math] y defina la función generadora [math] f (x) = f_ {n, m} (x) = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ binom {n + k} {2k} \ binom {2k} {k} \ frac {x ^ {k + m + 1}} {m + k + 1} [/ matemática].
Es fácil verificar que [math] f [/ math] satisface la ecuación formal [math] f = \ int x ^ m \ sum_ {k = 0} ^ n \ binom {n + k} {2k} \ binom { 2k} {k} x ^ k [/ matemáticas].
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Utilice la fórmula estándar para [math] \ binom {n} {k} [/ math] para obtener [math] \ binom {n + k} {2k} \ binom {2k} {k} = \ binom {n} { k} \ binom {n + k} {k} [/ matemáticas]. Luego escribir
[matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ n \ binom {n + k} {2k} \ binom {2k} {k} x ^ k [/ matemáticas] [matemáticas] = \ sum_ {k = 0} ^ n \ binom {n} {k} \ binom {n + k} {k} x ^ k [/ matemáticas] [matemáticas] = \ sum_ {k = 0} ^ n \ binom {n} {k} \ binom {- n-1} {k} (-x) ^ k [/ matemáticas] [matemáticas] = \ sum_ {k = 0} ^ n \ binom {n} {k} \ binom {-n-1} {k} \ biggl (\ frac {1-y} {2} \ biggr) ^ k [/ math] [math] = P_n (y) = P_n (2x + 1) [/ math] usando la definición de coeficientes binomiales negativos (ver Coeficiente binomial) y la forma de función generadora para el [math] n [/ math] -th Legendre polynomial [math] P_n [/ math] (ver polinomios Legendre)
Por lo tanto, tenemos [matemáticas] f (x) = \ int x ^ m P_n (2x + 1) [/ matemáticas]. Según la definición de [matemática] f [/ matemática], está relacionada con la respuesta [matemática] v [/ matemática] por [matemática] f (-1) = (-1) ^ {m + 1} v [/ matemática], o equivalente, [matemática] v = (-1) ^ {m + 1} f (-1) [/ matemática].
Esto prueba que
[matemáticas] v_ {n, m} = (-1) ^ {m + 1} \ int x ^ m P_n (2x + 1) \ biggr | _ {x = -1} [/ matemáticas].
A continuación, los denominadores claros:
[matemática] (m + 1) \ puntos (m + n + 1) v_ {n, m} [/ matemática] [matemática] = \ text {polinomio en m de grado como máximo n} [/ matemática].
De hecho, el grado es exactamente [matemáticas] n [/ matemáticas], ya que el coeficiente del término [matemáticas] m ^ n [/ matemáticas] es en realidad
[matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ n \ binom {n + k} {2k} \ binom {2k} {k} (-1) ^ k [/ matemáticas] [matemáticas] = \ sum_ {k = 0 } ^ n \ binom {n} {k} \ binom {n + k} {k} (-1) ^ k [/ matemáticas] [matemáticas] = \ sum_ {k = 0} ^ n \ binom {n} { k} \ binom {-n-1} {k} [/ math], como se deriva arriba.
Para evaluar esta suma, compare ambos lados de la ecuación formal [matemáticas] 1- x + x ^ 2 – x ^ 3 + \ dots = (1 + x) ^ {- 1} = [/ matemáticas] [matemáticas] (x +1) ^ n \ cdot (1 + x) ^ {- n-1} = [/ matemática] [matemática] \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ binom {n} {nk} x ^ k [/ matemáticas] [matemáticas] \ sum_ {l = 0} ^ \ infty \ binom {-n-1} {l} x ^ l [/ matemáticas].
Por lo tanto, el coeficiente del término [math] x ^ n [/ math] es [math] (- 1) ^ n = \ sum_ {k = 0} ^ n \ binom {n} {nk} \ binom {-n -1} {k} = [/ matemáticas] [matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ n \ binom {n} {k} \ binom {-n-1} {k} [/ matemáticas].
Esto prueba que [matemáticas] (m + 1) \ puntos (m + n + 1) v_ {n, m} [/ matemáticas] es [matemáticas] (- 1) ^ n A (m) [/ matemáticas], donde [matemática] A (m) [/ matemática] es un polinomio monico en [matemática] m [/ matemática] de grado [matemática] n [/ matemática].
Para finalizar la demostración, debemos mostrar que [matemáticas] A (m) = m (m-1) \ dots (m-n + 1) [/ matemáticas]. Como ya sabemos que [math] A [/ math] es un polinomio, basta con mostrar que [math] A (m) [/ math] desaparece en los puntos [math] m = 0, \ dots, n-1 [/ math], o equivalente, que [math] v_ {n, m} = 0 [/ math] para [math] m = 0, \ dots, n – 1 [/ math].
A su vez, esto es equivalente a mostrar [matemáticas] \ int x ^ m P_n (2x + 1) \ biggr | _ {x = -1} = 0 [/ matemáticas] para [matemáticas] m = 0, \ puntos, n -1 [/ math] por la fórmula [math] v_ {n, m}
[/ math] derivado arriba.
Ahora, hasta factores constantes en cada paso, tenemos la cadena de igualdades [math] \ int x ^ m P_n (2x + 1) \ biggr | _ {x = -1} [/ math] [math] = \ int_ {-1} ^ 0 x ^ m P_n (2x + 1) dx [/ math] [math] = \ int _ {- 1} ^ 1 \ biggl (\ frac {u-1} {2} \ biggr) ^ m P_n (u) du [/ matemáticas].
Ahora, cada vez que [math] 0 \ leq m <n-1 [/ math], el término [math] ((u-1) / 2) ^ m [/ math] es un polinomio de grado estrictamente menor que [math] n [/ matemáticas]. Es bien sabido que [math] (P_n) _ {n = 0} ^ {\ infty} [/ math] es un conjunto ortogonal de polinomios, y por álgebra lineal elemental, [math] ((u-1) / 2 ) ^ m [/ math] es una combinación lineal de [math] P_0, \ dots, P_ {m} [/ math]. Por lo tanto, la integral es igual a cero para cada [matemática] m = 0, \ puntos, n-1 [/ matemática], lo que demuestra que [matemática] A (m) = m (m-1) \ puntos (m- n + 1) [/ math], terminando la prueba.