La definición teórica dice si un campo tiene la propiedad que, si los conjuntos 
, …, 
, … pertenecer a él, entonces también lo hacen los conjuntos 
y 
, entonces el campo se llama campo Borel
Ahora, la explicación del laico.
un σ-álgebra A (campo Borel) es un conjunto de subconjuntos de X, por lo que para cualquier a en A,
– el inverso X / a está en A
– el conjunto vacío (o X) está en A
– la unión de cualesquiera 2 elementos de A también está en A
- Cómo evaluar [matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {\ Gamma ^ k (\ frac {k} {n})} [/ matemáticas]
- Cómo encontrar la suma [matemáticas] \ sum_ {k \ geq0} \ dbinom {n + k} {2k} \ dbinom {2k} {k} \ frac {(- 1) ^ k} {m + k + 1} [/ math] siempre que los enteros [math] m, n \ geq 0 [/ math]
- Cómo encontrar una forma cerrada para la suma [math] \ sum_ {k = 0} ^ {m} \ frac {\ tbinom {m} {k}} {\ tbinom {n} {k}} [/ math] cuando [matemáticas] n \ geq m \ geq 0 [/ matemáticas]
- ¿Por qué los anillos son tan importantes para la geometría algebraica?
- ¿Es [matemática] \ suma \ límites_ {k = 1} ^ n (4k + 1) [/ matemática] igual a [matemática] 2n ^ 2 + 3n [/ matemática] o [matemática] 2n ^ 2 + 3n + 1 [ /matemáticas]? ¿De dónde viene el [math] 1 [/ math]?
La última declaración debería leer que la unión de innumerables conjuntos en A también está en A.
Además, decimos un “conjunto” X. El contexto para estas definiciones es “un espacio topológico X”.
Para un espacio topológico dado, hay muchas álgebras sigma. De hecho, un teorema establece lo siguiente: dada cualquier colección F de subconjuntos de X, hay un álgebra sigma más pequeña que incluye los conjuntos de F.
Ejemplo adicional:
Defina un subconjunto, diga C de algún conjunto X de manera que
(i) Una unión B está en C siempre que A y B lo estén;
(ii) el complemento de A está en C siempre que A está en C;
(iii) Una intersección B está en C siempre que A y B lo estén.
Luego, definimos un “álgebra sigma”, o un campo Borel, como el conjunto C de tal manera que cada unión de una colección contable de conjuntos en el conjunto vuelva a estar en C.
Fuentes: Walter Rudin, “Análisis real y complejo”