Si [matemática] x + y + z = 0 [/ matemática] ¿cómo demuestra que [matemática] x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 = 3xyz [/ matemática]?

[matemáticas] x + y + z = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + y + z) ^ 3 = x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 + 3 (x ^ 2) y +3 (x ^ 2) z +3 (y ^ 2) x + 3 (y ^ 2) z +3 (z ^ 2) x +3 (z ^ 2) y + 6xyz [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + y + z) ^ 3 = x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 + 3 (x + y + z) (xy + yz + zx) – 3xyz [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + y + z) ^ 3 – 3 (x + y + z) (xy + yz + zx) = x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 – 3xyz [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + y + z) ((x + y + z) ^ 2 – 3 (xy + yz + zx)) = x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 – 3xyz [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + y + z) ((x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 +2 (xy + yz + zx) – 3 (xy + yz + zx)) = x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 – 3xyz [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + y + z) ((x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 – (xy + yz + zx)) = x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 – 3xyz [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 – 3xyz = (x + y + z) (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2-xy-yz-zx) [/ matemáticas]

Como [matemáticas] x + y + z = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 = 3xyz [/ matemáticas]

Al principio, esto puede parecer un poco complicado, pero las ideas detrás de él se generalizan para dar fórmulas para todos x ^ n + y ^ n + z ^ n donde x + y + z = 0. Esto tampoco es para nada mi trabajo: se puede encontrar en la respuesta de Vladimir a If [matemáticas] x + y + z = 0 [/ matemáticas], ¿cómo demuestras que [matemáticas] ((x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) / 2) ((x ^ 5 + y ^ 5 + z ^ 5) / 5) [/ matemáticas] [matemáticas] = (x ^ 7 + y ^ 7 + z ^ 7) / 7 [/ matemáticas]?

Consideremos x, y y z como raíces de un polinomio cúbico. En particular, queremos t ^ 3 + en + b = 0 cuando t = x, y o z. Los polinomios simétricos elementales dan b = -xyz y a = xy + xz + yz.

Ahora conecte x, y y z. Tenemos

x ^ 3 + ax + b = 0 (1).

y ^ 3 + ay + b = 0 (2)

z ^ 3 + sz + b = 0 (3)

Luego agregue (1), (2) y (3) para obtener

(x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3) + a (x + y + z) + 3b = 0

Pero debido a que x + y + z = 0, esto da

(x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3) + 3b = 0

x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 = 3xyz

donde conectamos el valor de b en el último paso.

Asegúrese de comprender completamente esa prueba. Deberías preguntarte por qué realmente podemos hacer esto. También asegúrese de tener una buena idea de dónde vino el xyz en el último paso.

Esto también puede parecer demasiado complicado. Sin embargo, podemos multiplicar t ^ 3 + en + b = 0 por t ^ k sin cambiar el hecho de que x, y y z son soluciones. Esto daría t ^ (k + 3) + en ^ (k + 1) + bt ^ k = 0 que cuando conecta x, y y z y agrega las tres ecuaciones resultantes, obtiene una ecuación recursiva por cada x ^ ( k + 3) + y ^ (k + 3) + z ^ (k + 3) y la derivación prácticamente no requiere fuerza bruta.

Usando fórmula,

a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 33abc = (a + b + c ) (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 – ab – ac – bc)

Agregar 3abc en ambos lados

a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 = (a + b + c ) (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 – ab – ac – bc) + 3abc

Ahora, ponga a = x, b = y, y c = z

x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 = (x + y + z) (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 – xy – xz – yz) + 3xyz

Poner x + y + z = 0 (Dado)

x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 = (0) (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 – xy – xz – yz) + 3xyz

x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 = 0 + 3xyz

x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 = 3xyz (Probado)

x + y + z = 0… .. (1)

=> (x + y + z) ^ 3 = 0

=> x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 + 3x ^ 2y + 3y ^ 2z + 3xz ^ 2 + 3x ^ 2z + 3xy ^ 2 + 3yz ^ 2 + 6xyz = 0

=> x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 + 3xy (x + y + z) + 3xz (x + y + z) + 3yz (x + y + z) – 3xyz = 0

=> x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 = 3xyz

x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 = (x + y) ^ 3 + z ^ 3 -3xy (x + y) =
(x + y + z) ^ 3-3z (x + y) (x + y + z) – 3xy (x + y)
si x + y + z = 0, entonces x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 = -3xy (x + y)
y x + y = -z
=> x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 = 3xyz

Espero que sepas esta formula

x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 -3 * x * z * y = (x + y + z) * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 -x * y -y * z -z *X)

Ahora pon (x + y + z) = 0 en la fórmula y da

x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 – 3 * x * y * z = 0

x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 = 3 * x * y * z

x + y + z = 0

(x + y + z) ^ 3 = 0

x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 + 3x ^ 2y + 3y ^ 2z + 3xz ^ 2 + 3x ^ 2z + 3xy ^ 2 + 3yz ^ 2 + 6xyz = 0

x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 + 3xyz (x + y + z) + 3xz (x + y + z) + 3yz (x + y + z) – 3xyz = 0

x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 = 3xyz

x + y + z = 0

(x + y + z) ^ 3 = 0

x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 + 3x ^ 2y + 3y ^ 2z + 3xz ^ 2 + 3x ^ 2z + 3xy ^ 2 + 3yz ^ 2 + 6xyz = 0

x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 + 3xyz (x + y + z) + 3xz (x + y + z) + 3yz (x + y + z) – 3xyz = 0

x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 = 3xyz

¡Aquí hay otro!
Aunque un poco complicado!
Escriba $ x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3-3xyz $ = $ (x + y + z) (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2-xy-yz-zx) $ (puede usar determinante o cualquier otra forma de probar esto!).
Entonces ya terminaste ya que recibes $ x + y + z = 0 $

Simplificar.

Usar identidad (x + y + z) ^ 3

Estoy

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