Si [math] x_0> 0 [/ math], entonces [math] \ {x_n \} _ {n = 0} ^ {\ infty} [/ math] es una secuencia estrictamente creciente de números positivos.
Ahora, reorganice la relación de recurrencia para obtener [matemáticas] x_ {n-1} (x_n-x_ {n-1}) = 1 [/ matemáticas].
Tenga en cuenta que [matemáticas] x_ {k-1} (x_j-x_ {k-1}) [/ matemáticas] [matemáticas] = \ int_ {x_ {k-1}} ^ {x_k} x_ {k-1} \ , dx [/ math] [math] <\ int_ {x_ {k-1}} ^ {x_k} x \, dx [/ math].
Ahora, sume esta desigualdad de [matemáticas] k = 1 [/ matemáticas] a [matemáticas] k = n [/ matemáticas] para obtener:
- Cómo encontrar x dado [math] \ log_ \ frac {1} {4} (2x + 3)> \ log_9 27 [/ math]
- ¿Cómo se pueden explicar los campos de Borel en términos simples?
- Cómo evaluar [matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {\ Gamma ^ k (\ frac {k} {n})} [/ matemáticas]
- Cómo encontrar la suma [matemáticas] \ sum_ {k \ geq0} \ dbinom {n + k} {2k} \ dbinom {2k} {k} \ frac {(- 1) ^ k} {m + k + 1} [/ math] siempre que los enteros [math] m, n \ geq 0 [/ math]
- Cómo encontrar una forma cerrada para la suma [math] \ sum_ {k = 0} ^ {m} \ frac {\ tbinom {m} {k}} {\ tbinom {n} {k}} [/ math] cuando [matemáticas] n \ geq m \ geq 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ int_ {x_ {k-1}} ^ {x_k} x \, dx [/ math] [matemáticas]> \ displaystyle \ sum_ {k = 1 } ^ {n} x_ {k-1} (x_j-x_ {k-1}) [/ math]
[math] \ displaystyle \ int_ {x_ {0}} ^ {x_n} x \, dx [/ math] [math]> \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n} 1 [/ math]
[matemáticas] \ dfrac {1} {2} (x_n ^ 2 – x_0 ^ 2)> n [/ matemáticas]
[matemáticas] x_n> \ sqrt {2n + x_0 ^ 2} [/ matemáticas].
Entonces, si [math] n \ ge \ tfrac {3} {2} x_0 ^ 2 [/ math], entonces [math] x_n> \ sqrt {2n + x_0 ^ 2} \ ge 2x_0 [/ math].
Esto muestra que [math] n \ ge \ tfrac {3} {2} x_0 ^ 2 [/ math] es una condición suficiente para [math] x_n \ ge 2x_0 [/ math].
Ahora, tenga en cuenta que [math] \ int_ {x_ {k-1}} ^ {x_k} x \, dx [/ math] [math] = x_ {k-1} (x_k-x_ {k-1}) + \ frac {1} {2} (x_k-x_ {k-1}) ^ 2 [/ matemáticas] [matemáticas] = 1 + \ frac {1} {2x_ {k-1} ^ 2} \ le 1 + \ frac {1} {2x_0 ^ 2} [/ math].
Al sumar esta desigualdad de [matemática] k = 1 [/ matemática] a [matemática] k = n [/ matemática] se obtiene:
[matemáticas] \ dfrac {1} {2} (x_n ^ 2 – x_0 ^ 2) \ le n \ left (1 + \ frac {1} {2x_0 ^ 2} \ right) [/ math]
[matemáticas] x_n \ le \ sqrt {(2+ \ tfrac {1} {x_0 ^ 2}) n + x_0 ^ 2} [/ matemáticas].
Entonces, si [math] x_n \ ge 2x_0 [/ math], entonces [math] 2x_0 \ le x_n \ le \ sqrt {(2+ \ tfrac {1} {x_0 ^ 2}) n + x_0 ^ 2} [/ matemáticas], es decir, [matemáticas] n \ ge \ dfrac {3x_0 ^ 2} {2+ \ tfrac {1} {x_0 ^ 2}} [/ matemáticas] [matemáticas] = \ dfrac {3} {2} x_0 ^ 2 – \ dfrac {3} {4+ \ tfrac {2} {x_0 ^ 2}} [/ matemáticas] [matemáticas]> \ dfrac {3} {2} x_0 ^ 2 – \ dfrac {3} {4} [/ matemáticas]
Esto muestra que [math] n> \ tfrac {3} {2} x_0 ^ 2 – \ tfrac {3} {4} [/ math] es una condición necesaria para [math] x_n \ ge 2x_0 [/ math].
Lo que hemos encontrado se puede resumir de la siguiente manera:
Si [math] n \ ge \ tfrac {3} {2} x_0 ^ 2 [/ math], entonces [math] x_n \ ge 2x_0 [/ math].
Si [math] n \ le \ tfrac {3} {2} x_0 ^ 2 – \ tfrac {3} {4} [/ math], entonces [math] x_n <2x_0 [/ math] .
De esto. podemos concluir lo siguiente:
Si [math] x_0 [/ math] es par, entonces el entero positivo más pequeño [math] n [/ math] tal que [math] x_n \ ge 2x_0 [/ math] es [math] n = \ tfrac {3} { 2} x_0 ^ 2 [/ matemáticas].
Si [math] x_0 [/ math] es impar, entonces el entero positivo más pequeño [math] n [/ math] tal que [math] x_n \ ge 2x_0 [/ math] sea [math] n = \ tfrac {3} {2} x_0 ^ 2 – \ tfrac {1} {2} [/ math] o [math] n = \ tfrac {3} {2} x_0 ^ 2 + \ tfrac {1} {2} [/ math].
Nota: Un poco de experimentación con un programa de computadora muestra que para [matemática] x_0 = 1 [/ matemática], [matemática] n = 1 [/ matemática], pero para [matemática] x_0 [/ matemática] mayor que [matemática] ] 1 [/ matemática], [matemática] n = \ tfrac {3} {2} x_0 ^ 2 + \ tfrac {1} {2} [/ matemática].