No hay una respuesta única a este problema. La forma más fácil de escribir las ecuaciones paramétricas es hacer [math] x_1 = t [/ math] para que [math] x_2 = 3 t + 2 [/ math]. No es interesante, pero es correcto. ¿Quizás esté interesado en una parametrización particular que de alguna manera le resulte más interesante?
En cuanto a la ecuación vectorial, eso es un poco más concreto. Una vez que tenga la ecuación parametrizada, observe que puede “apilarlas” una encima de la otra como:
[matemáticas] \ binom {x_1} {x_2} = \ binom {t + 0} {3 t + 2} [/ matemáticas]
Luego divida el lado derecho en un vector que involucra [matemáticas] t [/ matemáticas] y uno con solo las constantes.
[matemáticas] \ binom {x_1} {x_2} = \ binom {t} {3 t} + \ binom {0} {2} [/ matemáticas]
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Luego factoriza [math] t [/ math] para obtener la forma habitual de una ecuación vectorial de una línea:
[matemáticas] \ binom {x_1} {x_2} = \ binom {1} {3} t + \ binom {0} {2} [/ matemáticas]
Solo para verificar que esto es equivalente a la respuesta que proporciona, observe que cuando sustituye [math] t = \ tilde t-1 [/ math] en nuestra ecuación, obtiene la ecuación vectorial que se le da en las soluciones:
[matemáticas] \ binom {x_1} {x_2} = \ binom {1} {3} \ tilde t – \ binom {1} {3} + \ binom {0} {2} = \ binom {1} {3} \ tilde t + \ binom {-1} {-1} [/ math]