Vuelva a pensar en la infancia y en cómo aprendió sobre los números …
Cuando somos pequeños, comenzamos a contar, a menudo usando nuestros dedos.
Entonces, tenemos la idea de que los números son cosas como 1, 2, 3, 4, etc.
A la edad de aproximadamente 5 años, se nos está presentando la idea del “valor posicional” y sabemos que escribir dos símbolos uno al lado del otro de alguna manera representa una cosa diferente dependiendo del orden en que los escribamos. Entonces 21 es un cosa diferente de 12, a pesar de que hemos escrito un 1 y un 2.
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En algún momento, también alrededor de la misma edad, nos presentan algunos tipos nuevos de números: números negativos y fracciones. Nos presentan a ellos solo una vez que tenemos cierta familiaridad con cómo manejarlos; es normal, por ejemplo, introducir fracciones en el contexto de “compartir” (que es un concepto que los niños muy pequeños no entienden instintivamente, y también que te enseñen)
Estas cosas, entre ellas, son nuestro mundo de números, durante unos pocos años.
En algún momento, tal vez justo antes de que seamos adolescentes, tal vez una vez que seamos adolescentes, comencemos a aprender sobre otros tipos de números, en última instancia, aprendemos que se llaman números irracionales, números que no se pueden anotar como fracción.
En la práctica, aprendemos, primero, acerca de algunos números especiales, en particular uno llamado “Pi”, que es casi igual a 22/7 (como fracción) y casi igual a no igual a 3.14 como un decimal.
Luego, si estamos interesados en las matemáticas, aprendemos cosas extrañas llamadas números “imaginarios”, como i, la (a) raíz cuadrada de -1, y tal vez incluso números “complejos”, que combinan números imaginarios y lo que ” Ahora se les enseña a llamar a números “reales”.
Esta es la etapa a la que llegamos en el entrenamiento formal de matemáticas antes de la Universidad.
En la etapa universitaria, si continuamos estudiando matemáticas, entonces se nos presenta una idea formal de “infinito”.
En este punto, nos damos cuenta de que casi cada vez que nos hemos encontrado con “infinito” hasta entonces ha estado fuera de una clase de matemáticas … o si está en una clase de matemáticas, ha habido un poco de agitación manual sobre lo que realmente significa .
Y, ahora, de repente nos damos cuenta de que hay diferentes tipos de infinitos … que no son exactamente “números” de la misma manera que los números que aprendimos anteriormente.
Pero está bien, aprendimos, cuando éramos jóvenes, sobre fracciones que no eran exactamente iguales a los números que conocíamos … luego sobre irracionales … luego sobre números imaginarios y complejos … y hemos decidido estudiar matemáticas en Uni, así que Estamos familiarizados con la idea de aprender nuevos conceptos.
Y también, para entonces, nos sentimos cómodos con la idea de que las estructuras matemáticas no siempre se comportan como nuestra intuición nos dice que deberían … y, por lo tanto, nos acostumbramos a trabajar de una manera muy formal para razonar sobre las cosas.
… pero luego, un no matemático se estrella en nuestro mundo con una pregunta como “por qué el infinito más uno es igual al infinito”, y de repente nos damos cuenta de que no podemos dar una respuesta realmente formal en menos de 8 semanas (la duración de un curso de primer año sobre esto en mi antigua Uni) 🙂
Entonces, terminamos con una especie de respuesta manual como la siguiente:
Infinito no es realmente un número al que puedas agregar. Sin embargo, podemos decir que dos cosas son “infinitas” (iguales entre sí), si podemos alinear a sus miembros y poner un mapeo 1: 1 entre ellos.
Entonces, el conjunto de números 1, 2, 3, 4, 5, 6 … se puede convertir en otro conjunto de números duplicando, y obtener 2, 4, 6, 8, 10, 12 … En ambos casos, podemos ir por siempre.
Esto nos da la extraña propiedad de que el conjunto de números naturales (1,2,3,4 …) es el MISMO TAMAÑO que el conjunto de números pares positivos … pero nuestra intuición nos dice que el segundo conjunto debería ser “el doble de grande “como el primer set … o tal vez debería ser” la mitad de grande “.
Podemos aplicar el mismo proceso para agregar un solo elemento a un conjunto … ponerlos en orden, y luego tener una regla que diga “el primer elemento en el conjunto 2 se define como la … y el ( N + 1) El elemento th en el conjunto 2 se define como el .
Aplica esta lógica, y puedes ver que solo estamos agregando una cosa más … y la nueva lista tiene el mismo tamaño que solía ser … infinita.
Y vuelve a esos dos pensamientos centrales: en primer lugar, que el infinito no es “el mismo tipo de cosas” que los otros números, y en segundo lugar (debido a esto) nuestra intuición es incorrecta, y la educación matemática en este nivel se trata de obtener pasado ese tipo de intuición.