¿Cuál es la definición de un número real y cómo se excluye el infinito del conjunto de reales por esa definición?

Answer 1

Construcción de los números reales. Mi construcción preferida de los números reales es a través de secuencias de Cauchy.

Una secuencia de Cauchy [matemática] \ {x_n \} [/ matemática] en los números racionales es una secuencia de números racionales que está “eventualmente cerca de sí misma”. Más precisamente, para cada [matemática] \ epsilon> 0 [/ matemática] existe algún número natural [matemática] N [/ matemática] tal que

[matemáticas] | x_n-x_m | <\ epsilon [/ math] para todos [math] n, m \ geq N [/ math].

En otras palabras, no importa cuán pequeña sea la “tolerancia al error” [matemáticas] \ epsilon [/ matemáticas], podemos decir que la secuencia finalmente se encuentra dentro de un intervalo de ese tamaño.

Ahora consideramos el conjunto de todas las secuencias de Cauchy en los racionales; llámalo [matemáticas] C [/ matemáticas]. Dentro de [math] C [/ math], hay un subconjunto [math] C_0 [/ math] que consiste en aquellas secuencias de Cauchy que convergen a 0 (la noción de número real no es necesaria para discutir cuándo una secuencia de números racionales converge a Un número racional).

Puede probar que [matemáticas] C [/ matemáticas] es un anillo conmutativo con unidad, y [matemáticas] C_0 \ subconjunto C [/ matemáticas] es un ideal máximo. Por lo tanto, el anillo del cociente [matemática] C / C_0 [/ matemática] es un campo; de hecho, son los números reales. Esto significa que un número real se puede describir como una clase de equivalencia de secuencias de Cauchy de números racionales. Dos de esas secuencias de Cauchy son equivalentes si difieren en una secuencia que converge a 0. Entonces, por ejemplo, las secuencias de Cauchy

[matemáticas] (0,0,0, \ ldots) [/ matemáticas]

y

[matemáticas] (1,1 / 2,1 / 3, \ ldots) [/ matemáticas]

ambos definen el mismo número real, es decir, 0. Por otro lado, podríamos ver [math] \ pi [/ math] como se representa por la secuencia de Cauchy

[matemáticas] (3,3.1,3.14,3.141, \ ldots), [/ matemáticas]

pero esta es solo una de las innumerables formas de ver [math] \ pi [/ math] como una secuencia de Cauchy. Por ejemplo,

[matemáticas] (5,3.1,3.14,3.141, \ ldots), [/ matemáticas]

es otra secuencia de Cauchy perfectamente buena que representa [math] \ pi [/ math].

(¿Qué significa ser los números reales? Desde un punto de vista, simplemente definimos los números reales como [matemática] C / C_0 [/ matemática]. Por otro lado, dada una lista razonable de axiomas que describen de forma única los números reales, podemos mostrar que [math] C / C_0 [/ math] satisface esos axiomas y también lo es el espacio de los números reales).

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La relación de orden en los números reales. Supongamos que tenemos dos números reales [matemática] x, y [/ matemática]. ¿Qué significa decir que [matemáticas] x <y [/ matemáticas]? Nuevamente, estamos construyendo esta relación de orden, por lo que a priori es una expresión sin sentido: debemos definir lo que significa.

Esto es lo que funciona. Digamos que [math] x, y [/ math] están representados por las secuencias de Cauchy [math] x_n, y_n [/ math]. Luego definimos

[matemáticas] x <y [/ matemáticas]

significa que hay algún número racional [matemática] r> 0 [/ matemática] tal que

[matemáticas] y_n – x_n> r [/ matemáticas]

para todo lo suficientemente grande [matemática] n [/ matemática]. En otras palabras, más allá de cierto punto en la secuencia, la secuencia que define [matemáticas] y [/ matemáticas] es siempre más grande que la secuencia que define [matemáticas] x [/ matemáticas] en una cantidad fija.

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Infinito. Espero que todos podamos estar de acuerdo en que la propiedad más fundamental del infinito debería ser que no es más pequeña que cualquier número entero. Cualquier número racional es más pequeño que un número entero, por lo que se deduce que el infinito no debe ser más pequeño que cualquier número racional. Pero cada número real es más pequeño que un número racional. De hecho, es fácil ver que cada secuencia de racionales de Cauchy es una secuencia acotada. Entonces, si [math] r [/ math] es un límite superior racional para una secuencia de Cauchy que representa un número real [math] x [/ math], se deduce de las definiciones que [math] x <r [/ math]. Esto significa que el infinito no puede ser un número real y ser más grande que cualquier número entero.

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Axiomas para los números reales. Desde un punto de vista alternativo insinuado anteriormente, la construcción particular de los números reales no es realmente tan relevante cuando se discute si el infinito es un número real o no. Los números reales pueden definirse como el “campo ordenado único que satisface la propiedad de límite superior mínimo”. Directamente desde estos axiomas, es fácil mostrar que los enteros no están acotados en los números reales y, por lo tanto, que nada como “infinito” puede ser un número real.

Answer 2

Hay múltiples definiciones de los reales que son equivalentes: terminan describiendo el mismo conjunto con las mismas operaciones (=, +, -, *, / y <) en ese conjunto. Por ejemplo, Quora User describe de manera concisa una construcción de los reales usando secuencias de Raucionales de Cauchy, luego define los números reales para que sean exactamente el conjunto que proporciona su construcción. También puede definirlos con otras construcciones y definiciones axiomáticas, por ejemplo: cortes de Dedekind, expansión decimal (consulte Construcción de los números reales en Wikipedia).

Cada definición tendrá una prueba ligeramente diferente de que el infinito está excluido, y responderá perfectamente a su pregunta principal ” ¿Cuál es la definición de un número real y cómo se excluye el infinito del conjunto de reales por esa definición?” .

Sin embargo, no creo que estas pruebas sean una respuesta completa a “¿por qué el infinito no es un número real?”, Porque no explican por qué hemos llegado a elegir estas definiciones equivalentes particulares de los reales como un objeto primario de estudiar en matemática.

Los números reales apoyan las operaciones familiares de los números racionales (los reales también son un campo ordenado), pero también están completos (ver la integridad de los números reales en Wikipedia). Hay muchas definiciones equivalentes de completitud (¿ves un patrón?) Que formalizan la intuición de que no hay espacios en los reales en la recta numérica. Esto no es cierto para los racionales: la secuencia de los racionales 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142 se acerca tanto como quiero a sqrt (2), pero hay una brecha sin racional al final de la secuencia. La integridad es lo que hace que los reales sean tan útiles al estudiar álgebra y análisis.

Curiosamente, los números reales son el único campo ordenado completo que es Archimedean (no tiene números infinitesimales o infinitos). Entonces, si desea un sistema numérico con las propiedades de campo ordenadas extremadamente útiles de los racionales, desea que el sistema numérico no tenga espacios, y no desea números infinitesimales e infinitos confusos, debe elegir los reales .

Tenga en cuenta que si tiene ‘infinito’ como número, puede multiplicarlo por cualquier número entero o tomar su recíproco, por lo que en realidad tiene un sistema de infinitos números infinitos e infinitesimales.

Una buena respuesta está en la historia del tema. Las primeras discusiones sobre los números fueron más informales de lo que vemos hoy y, a menudo, incluyeron valores infinitesimales, por ejemplo, en los primeros trabajos sobre cálculo de Leibniz y Newton (ver cálculo infinitesimal en Wikipedia). Sin embargo, las primeras construcciones rigurosas de los reales a finales de 1800 excluyeron específicamente los números infinitesimales (vea este artículo (Números reales 2) sobre la historia de los reales). Estas definiciones, de Cantor, Hankel, Dedekind y otras, resultaron ser increíblemente útiles para avanzar en nuestra comprensión del análisis, y se convirtieron en parte de la comprensión estándar de las matemáticas.

¿Qué pasa con los infinitesimales? Aproximadamente cien años después de la formalización de los números reales, en la década de 1960 Abraham Robinson introdujo los números hiperrealistas, que contienen números infinitesimales, y los utilizó para encontrar “análisis no estándar”; esta era su forma alternativa de enseñar y probar el cálculo utilizando infinitesimales (ver Análisis no estándar en Wikipedia). En este momento, el análisis matemático ya se había construido utilizando los reales modernos como un sistema de numeración primario.

TL; DR : Los números reales modernos son los dados por las primeras definiciones rigurosas de una finalización de los racionales en el siglo XIX. Esas definiciones prohíben los números infinitesimales o infinitos. Existen otras definiciones de sistemas numéricos que contienen números infinitos (por ejemplo, números hiperrealistas), pero llegaron más tarde y, por lo tanto, son menos populares.

Answer 3

Para demostrar la diferencia entre un número y el infinito, en realidad no necesito los números reales (y de hecho, usarlos podría confundir mucho las cosas).

Aunque, si tengo tiempo, ampliaré esta respuesta para incluirlos.

Pero para demostrar la distinción entre infinito y un número, solo necesito los números más básicos de todos y la buena recta numérica.

Comience con los “números de conteo”, también conocidos como los “números naturales”:
1, 2, 3, 4, …
(recuerde que los tres puntos son un símbolo especial que significa “continúa en el patrón para siempre”)

Aquí está la recta numérica para los números de conteo:
Tenga en cuenta que solo tenemos una marca para cada número y una flecha a la derecha para mostrar que los números van para siempre en esa dirección.

Mire y vea que, para cualquier número positivo que se le ocurra, puedo poner ese número en una ubicación * única * en la línea numérica.

Pero la recta numérica continúa para siempre hacia la derecha.

Infinito no es un número en esa línea. Si fuera así, * ¿dónde * iría * a *?

Si tuviera que elegir una posición arbitraria en la línea y decir “* allí * es donde está el infinito”, podría señalar a la derecha y decir “pero ¿qué pasa con este número? ¿Es * mayor que * infinito?”

De hecho, vemos que el infinito no es un número porque los números son puntos discretos en la recta numérica. No hay un punto discreto para el infinito en la recta numérica. Se podría pensar así:
Todos los puntos en la recta numérica son los números. El infinito es la * flecha *.
FIN
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PD
El infinito es el horizonte donde la Tierra se encuentra con el cielo que nunca puedes alcanzar.

Se vuelve más complicado cuando incluye números negativos, que * también * van al infinito, pero como van en la dirección opuesta, nos referimos a él como * infinito negativo *.

Se vuelve aún más complicado cuando incluimos números fraccionarios. En ese punto, tendremos infinito positivo a la derecha, infinito negativo a la izquierda y un * número ilimitado de * números entre dos números en la recta numérica.

Básicamente, “número” se refiere a algún punto o cosa discreta. “Infinito” es fundamentalmente * no * un punto o cosa discreta. “Infinito” es: continuar por siempre y para siempre sin fin.
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Las vacas peludas muan y se descomprimen.

Answer 4

Las definiciones de los números reales vienen en dos sabores. Los enfoques axiomáticos describen sus propiedades. Los enfoques constructivos los construyen usando objetos más básicos, como números racionales. Centrémonos en los enfoques axiomáticos.

El conjunto de números reales tiene la propiedad Archimedean; para cualesquiera dos reales positivos x e y, existe un número natural adecuado n tal que n * x> y.

Si el infinito fuera un número real, claramente sería mayor que cero. En otras palabras, sería positivo. Luego, usar la propiedad Archimedean en el par x = 1 e y = infinito nos daría un número natural n tal que n * 1> infinito. Eso contradiría la ‘infinitud’ del infinito.

Answer 5

Revela un “defecto fatal” en el núcleo mismo de nuestras matemáticas: la ficción de que para cada número x de uno a INFINITY existe un valor recíproco 1 / x que cae en el rango de cero a uno. Esa es una IMPOSIBILIDAD CONCEPTUAL porque sugiere un mapeo punto por punto de un rango INFINITO a un rango limitado finito. Pero esta ficción paradójica imposible es necesaria para el cierre de la multiplicación y la división, por lo que podemos mover las cosas de un lado a otro a través del signo igual, o calcular hacia adelante y hacia atrás, calculando consecuencias o causando causas originales. La existencia de este absurdo paradójico sugiere que los números están realmente representados en la mente humana usando un rango finito, donde el infinito ES un número (¡pero es mucho menor que infinito!), Y 1/0 es exactamente igual al infinito. Todo se explica aquí … (desplácese hacia abajo aproximadamente 2/3 hasta llegar a la sección La función inversa )

Álgebra de Clifford: una introducción visual

Answer 6

En términos de teoría de conjuntos, los reales son el conjunto más pequeño que contiene los números racionales y tiene la propiedad de límite inferior y superior.

Tenga en cuenta que los números reales “extendidos” incluyen + – infinito.

Answer 7

Los números reales generalmente se definen como correspondientes a la colección de todos los cortes de Dedekind. Como en otras construcciones, que extiende un conjunto de números, la construcción agrega los “elementos faltantes” al conjunto.

Un corte de Dedekind es una partición del conjunto de racionales en dos conjuntos no vacíos A y B, de modo que todos los elementos del conjunto A son menores que todos los elementos del conjunto B , y tal que A no tiene el elemento más grande.

El número real definido por el corte Dedekind es el límite inferior más grande de B. Si hay un elemento mínimo de B que es un número racional, entonces el número real es este número. De lo contrario, introducimos el nuevo número real (que entonces es un número irracional) como el elemento que causaría que B tenga un límite inferior mayor.

Claramente, con esta construcción, el elemento mínimo de B nunca puede ser infinito.

Answer 8

El infinito no es algo que debería existir inherentemente dentro de los reales, más bien lo agregamos después de tener los reales y luego lo llamamos los números reales extendidos. Consiste en los reales junto con más y menos infinito.

Como queremos que los reales sean un campo, significa que si incluyéramos el infinito de alguna manera en la construcción original, tendríamos que definir cantidades tales como el infinito se divide por el infinito, que tendría que ser igual a 1, pero se muestra fácilmente que el infinito se divide por infinito es indeterminado.

Supongamos que queremos intentar demostrar que hay un número real más grande, ya que esto sería “infinito”, ya que todo lo demás es más pequeño. Llama a este número real más grande x. Entonces x-1 es un número real y x-1