Ciertamente hay una expansión en serie para la composición de dos funciones analíticas [matemáticas] (g \ circ f) (t) [/ matemáticas]. Recientemente me divertí @ al resolver esto como parte de responder otra pregunta:
Deje que [math] f (t) = \ sum_ {j = 0} ^ \ infty a_j t ^ j [/ math] y [math] g (t) = \ sum_ {j = 0} ^ \ infty b_j t ^ j [/ math] be funciones analíticas. Como las funciones analíticas tienen derivadas de todos los órdenes, dejemos que [math] f ^ {(k)} (t) [/ math] denote la derivada [math] k [/ math] -th de [math] f (t) [/ matemáticas]. (Para simplificar, suponga que [math] f, g [/ math] tiene un radio de convergencia infinito).
Deje que [math] \ Pi_n [/ math] denote el conjunto de todas las particiones enteras de [math] n [/ math]: elementos [math] \ pi \ in \ Pi_n [/ math] son conjuntos múltiples de enteros positivos (orden no importa, la multiplicidad sí) cuya suma es [matemáticas] n [/ matemáticas]. Denote el número de elementos de [math] \ pi [/ math], contando las multiplicidades, por [math] | \ pi | [/ math].
Si [math] \ pi \ in \ Pi_n [/ math], deje que [math] a_ \ pi [/ math] sea el producto de los coeficientes de [math] f [/ math] nombrados en [math] \ pi [/ matemática]: por ejemplo, si [matemática] \ pi = \ {3,2 \} [/ matemática], [matemática] a_ \ pi = a_3 \ cdot a_2 [/ matemática]; si [math] \ pi = \ {3,1,1 \} [/ math], entonces [math] a_ \ pi = a_3 \ cdot a_1 \ cdot a_1 = a_3 \ cdot a_1 ^ 2 [/ math]. Defina [math] b_ \ pi [/ math] de manera similar utilizando los coeficientes de [math] g [/ math].
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Deje que [math] \ pi! [/ Math] sea el producto de los factoriales de los elementos de [math] \ pi [/ math]; para los dos ejemplos en el párrafo anterior, [math] \ pi! [/ math] sería igual a [math] 3! 2! = 12 [/ matemáticas] y [matemáticas] 3! 1! 1! = 6 [/ matemáticas] respectivamente.
Entonces el coeficiente de [matemáticas] t ^ j [/ matemáticas] en [matemáticas] (g \ circ f) (t) [/ matemáticas] viene dado por
[matemáticas] \ sum _ {\ pi \ in \ Pi_j} \ frac {a_ \ pi} {\ pi!} g ^ {(| \ pi |)} (f (0)) [/ math].
Con respecto a su pregunta sobre la obtención de alguna función particular como una composición iterada de sí misma: no hay ninguna razón por la que pueda ver que esto no puede suceder en general, pero no sucede con funciones familiares. En particular, en el plano complejo [math] \ sin (z) [/ math] crece básicamente exponencialmente, por lo que no esperaríamos que la composición iterada lo calmara en absoluto.